第六章-高阶谱分析

• 从上例可见，双谱可以显示一个系统的对称性，即输 出中有无直流分量。实际上，一双谱还可以显示系统是否 显现非线性，输出将含有高次谐波，如 cos 20t 等。 若X () 除了含有 ( 0 ) 外还有 ( 20) ，则每组直线将含四根， 他们有六个公共交点。
2
x(t) cos 20t
0
2 0 1
利用这个特点，即可监测机械系统是否发生损坏而产 生高次谐波振动。
• 6.2 累量和多谱的定义及其性质
•
前面讨论了三阶相关及其付里叶变换——双谱。它不是将K
阶相关or K阶矩定义为K阶谱，而是将与高阶矩相关的参数——
累量作为高阶谱的付氏变换对。只是特别的，三阶累量正好与三
阶相关等同。
• 6.2.1 随机变量的累量（probability density function）
• ⒋ 双谱中的相位信息 由 Bh (1,2 ) H (1)H (2 )H * (1 2 ) ，并设：
Bh (1,2 ) | Bh (1,2 ) | e j(1,2 ) H () | H () | e j ()
则有： | Bh (1,2 ) || H (1) || H (2 ) | H | (1 2 ) |
是因为二阶以上的矩不提供新的信息。
• 二、累量与矩的关系 • 先将按泰勒级数展开
e jvx 1 jvx jvx k k!
• 代入 (v) 写成：
(v) E{e jvx} f (x)[1 jvx jvxk ]dx
k!
1 jvE[x] ( jv)2 E(x2 ) ( jv)k E[xk ]
第六章 高阶谱分析
6.1三阶相关和双谱的定义及其性质 6.2累量和多谱的定义及其性质 6.3累量和多谱估计 6.4基于高阶谱的相位谱估计 6.5基于高阶谱的模型参数估计 6.6利用高阶谱确定模型的阶 6.7多谱的应用
第六章 高阶谱分析
• 6.0 引言 • 我们先回顾一下前面的所学的知识。
维纳Filter，自适应信号处理，现代谱估计等，都是用信号 模型分析法，代替了信号波形分析法。在这些理论中，认为：
X1
(1
)
X1
(2
)
X
* 1
(1
2 )
x1(t) 的双谱，只在 1 0及2 0 的公共交点上有非零
值（即三个因子全不为0时，0Bx (1,2) 0 ）
有三组线：1 0 ，1 2 0 ，2 0
W2
三组线没有共同交
W1
点
0
∴Bx1 (1 , 2 ) 0
W0
W1 W2 0
• x2 (t) 的频谱 X 2 () 为
• 6.2.2 随机过程的累量
• 考虑随机序列{x1, x2, , xk}的k 阶累量。设矢量
v X x1 x2 xk T ，xi 是随机矢量；矢量V v1
xi 的特征函数的自变量。
v2
vk
T
，
i
是
X 的 k阶累量 Cx1,x2, ,xk 定义为累量生成函数 V 的泰勒级数
展开式中v1,v2, ,vk 的系数。其中累量生成函数为
2
其特征函数(v) ：
jmv 1 2v2
(v) e 2
( (v)
1
1 (xm)2
e 2 2 e jvxdx)
2
(v) ln (v) jmv 1 2v 2 m( jv) 2 ( jv)2
2
2!
C1 m, C2 2 , Ck 0(k 3)
结果表明，高斯随机变量的二阶以上的累量为零。这
• ⒊ 确定性序列的双谱
设为有限长确定性序列，其双谱为：
Bh (1,2 ) H (1 ), H (2 )H * (1 2 )
其中： H()
h(n)e jn
n
（6.6）
• 可以这样来证明： h(n)的三阶相关函数为
Rh (m1, m2 ) h(n)h(n m1)h(n m2 )
n
∴其双谱为：
jk
( jv)k
k 1
Ck
( jv)k k!
• 这里： ， 为 x 的 k 阶累量 Ck
(k ) (0)
jk
1 jk
dk dv k
[ln (v)]v0
Ck
• 例：考察具有特殊地位的高阶随机变量x(m, 2 )的累量
解：x 的概率密度函数 f (x)为
f (x)
1
1 (xm)2
e 2 2
• 比较这两个式子：( jv) x项次：
C1 m1 E[x]
C2 m2 m12 E[( x m1 )2 ]
C3 m3 3m1m2 2m13 E[( x m1 )3 ]
（6.10b）
C4 m4 3m22 4m1m3 12m12m2 6m14 E[( x m1 )4 ]
C3（无量纲）
3
为偏态系数，或偏态（歪斜度）。
C3 E[x3 ](m1 0)
• 显然，正态随机变量 的偏态 （ ）
g
Sg 0 C3 0
• 设 m1 0 ，对四阶累量的分析（正态随机变量）
C4 m4 3m22
• 而正态随机变量的四阶矩为：3m22 3 4 • 说明：累量是任意随机变量的矩与正态随机变量的同阶矩
设随机变量x的概率密度函数为 f (x) ，则 x 的特征函数为：
Taylor
Series（泰勒(v)） 展E{e开xp(：jvx)}
f (x)e jvxdx
（6.8）
(v) (0)
(k) (0) v k
(k) (0) v k
k 1
k!
k 1
k!
k 1
(k) (0)
k!
Bh (1,2 )
kh (m1 , m2 )e j(m11m22 )
m1 m2
h(n)h(n m)h(n m2 )e j(m11m22 )
m1 m2 n
h(n m1 )e j1(nm1)
h(n m2 )e j2 (nm2 )
h(n)e j(1w2 )n
m1
m2
n
H (1 )H (2 )H (1 2 ) H (1 )H (2 )H *(1 2 )
V ln Eexp jV T X
即
Cx1 ,x2 , ,xn
j
k
k
v1 ,
v1, v2 , v2 , ,
, vk vk
v1 v2 vk 0
（6.11）
随机过程的累量与前面讨论的随机变量的累量类似，
只是用矢量代替了标量，所以它们所用的运算方法和所得 到的结论都是类似的。
• 6.2.3 多普的定义
X
2
(
)
A
(
)
1 2
[
(
0
)
(
0
)]
同理，只是这时每组直线变成三根： 0， 0， 0
W2
W0
W0
0
W0
W1
W0
Bx2
(1,2
)
X
2
(1)X 2
(2
)X
* 2
(1
2
)
A3
A 4
0
(1,2 ) (0,0) (1,2 ) ( 0,0 ),(0, 0 ),(-0,0 ),(0,-0 ) otherw is e
的差。
用均方差的四次方 4 除四阶累量，记为 x
x 为峰态，显 x然 正m44态 分3 布Kurxto=s0is峰度
f(x)
比正态分布尖锐的直线 x （0 正峰） 正态分布 x 0
比正态分布
平坦的曲线
0
x x 0(负值）
C3 E[(x m1 )3 ] m3 m3G G4 m4 m4G Ck mk mk G
（6.3）
• 它的二维付里叶变换就是双谱（Bi-spectrum）。
Bx (1,2)
Rxx (m1, m2 )e (1m12m2 )
m1 m2
| 1 |, | 2 | {xi} bi-spectrum
（6.4）
• 二、性质 • ⒈ 三阶相关函数的对称性（symmetry Properties）
i 1
i
i
通常把k 3 的 Sk,x 称为高阶谱或多谱，特别地，将三阶 谱 S3,x1,2 称为双谱，四阶谱 S4,x 1,2 ,3 称为三谱。
• 6.2.4 累量和多谱的性质
• 1、累量具有对称性
• 2、相互独立的两随机序列的组合序列的累量等于零 • 3、随机信号通过线性系统后的累量等于随机信号的累量
③模型中，还假设：加性测量噪声是高斯白噪声， 其均值为0，方差为1，且与信号统计无关，即不影响信号 的谱形状，即：
S yy ()
S
xx
()
2 v
|
H(e j ) |2
2 v
Ruy
(m)E[u(n)
y(n)]
2 u
h(m)
（6.2）
• 从上面的式子，可以看出，功率谱（及相应的自相关
函数）是不含信号的相位信息的→被称为“盲相”的。 • 而在实际中，往往非高斯，不是最小相位，甚至是非线性
可以用时间平均代替统计平均，来求得累量Ck,x 的估计
C
k
,x
称为取样累量。例如均值为零的信号的三阶取样累量
•为
C 3,x 1, 2
1 NR
nR
xnxn 1 xn 2
设 x n 为平稳随机过程，其 k 阶累量 Ck,x 1, 2, , k1 是
绝对可和的，则 x n k 的 阶谱Sk,x 1,2, ,k1 定义为 k 阶
累量的 k 1重傅里叶变换，即
Sk,x
1,2 ,
, k 1
C 1 2 k ,x
1, 2,
, k1
exp
j
k 1
Rx (m1, m2 ) Rx (m2 , m1) Rx (m1, m2 m1) Rx (m2 m1,m1)
Rx (m1 m2 ,m2 ) Rx (m2 , m1 m2 )
实 质 坐标变换
（6.5）
• 意义：只要知道图中由，两直线在第一象限中所限定的无 限三角形内的，就可以得知整个平面内所有的的值。
系统冲激响应的累量的卷积
• 4、信号的高阶累量能够决定模型的冲激响应
• 6.3 累量和多谱估计
• 在信号模型中，信号xn 的累量可根据式（6.17b）由
信号模型的冲激响应 hn 来计算。但在许多实际应用中，
信号的累量只能够由测量到的有限长数据序列 x1, x2, , xN
来估计。结合第四章中自相关函数的估计式（4.5），也
一个平稳随机信号是由图6-1所示信号模型产生：
V(n)
x(n)
u(n)
H(z)
y(n)
[h(n)]
∑
图6-1 随机信号的模型
• 其中：①是均值为零，方差为的高斯（正态）白噪声。 ②是线性时不变系统，具有最小相位。则信号的谱
与模型参数有如下关系：
S xx ( )
2 u
|
H (e j ) |2 （6.1）
(1,1 ) (1 ) (2 ) (1 2 ) （6.7）
例：求一正弦波 x1(t) cos0t 和含直流分量的正弦波 x2 (t) A cos0t 的双谱。
• 解：x1(t) 的频谱 X1()是两个 的函数
X 1 ( )
1 2
[
(
0
)
(
0
)]
由双谱定义式（确定序列）：
Bx1
(1,2 )
• 可见：二、三阶累量分别就是二、三阶中心矩。当均
值为零时，就是二、三阶相关。但四阶及其更高阶累量相 应的中心矩。
• 累量的物理意义：
•
一阶累量是随机变量的数学期望，大致地描述概率分
布的中心。
•
二阶累量是方差，描述了概率分布的离散程度。
•
三阶累量是三阶中心矩，描述了概率分布的非对称性。
•
定义：
Sx
• ⒉ 双谱的对称性，周期性和共轭性：
Bx (w1, w2 ) Bx (w2 , w1) Bx (w1 w2 , w2 ) Bx (w1 w2 , w1) Bx (w2 ,w1 w2 ) Bx (w1,w1 w2 ) Bx (w1 2 , w2 2 ) Bx (w1, w2 ) Bx (w1, w2 ) Bx* (w1,w2 )
• 当为实序列时，由定义和三阶相关函数的对称性很易证明！ • 说明意义：（共轭性：Conjugate Symmetric Properties）
2
1 2
π
0
1
π
1
16 平面内的值
-π
1 0 2 0 1 2 1 2
• 双谱的对称性和周期性说明，只要知道如图中的阴影 部分内的，就可知道整个平面内各点的值。
2!
k!
1
jv m1
( jv)2 2!
m2
( jv)k k!
mk
（6.10a）
• 又由累量定义式，(v) 还可写成：
(v) exp{ (v)} exp
k1
Ck k!
(
jv) x
1
k1
Ck k!
(
jv)k
1 2!
k 1
(
jv) x
2
1 n
k1
Ck k!
(百度文库
jv)
k
的，也往往不是白色的。 • 这就需要用高阶谱来分析信号。
• 6.1 三阶相关和双谱的定义及性质
• 一、定义
• 设为零均值，三阶实平稳随机序列，其三阶相关函数
为：
Rxx (m1, m2 ) E[x(n)x(n m1 )x(n m2 )] （2nd-order Rxx (m) E[x(n)x(n m)]