Ch4 固体中弹性波-01 固体中的应变

体应变
假设小体元的形状没有发生变化。 r r
r r S = ui + vj + wk ∂u ∂v ∂w ε xx = , ε yy = , ε zz = ∂x ∂y ∂z
r r r r A点的位移为 S = ui + vj + wk
小体元沿x方向长度的变化量 则 小体元沿x方向的正应变ε xx = 小体元沿x方向的原来长度 A ' D '− AD ∂u ε xx = = AD ∂x A ' B '− AB ∂v = 该体元 y轴方向的正应变为 ε yy = AB ∂y ∂w 类似地可得该体元在 z轴方向的正应变为 ε zz =
位移矢量的旋度
两个矢量的 叉乘积，其运算结果是一个矢 量。
r r A × B = Ax Bx r i r j Ay By r r r Az = ( Ay Bz − Az By ) i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax B y − Ay Bx ) k Bz r k
对一个矢量的旋度运算，类似于两个矢量的叉乘积，结果仍 然 是矢量。 ∂ r ∂ r ∂ r r r r r 劈 形算符 ∇ = i + j + k，位移矢量 S = ui + vj + wk
≈ ε xx + ε yy + ε zz
∂z
可见，小体元的体应变为该体元的三个正应变之和 . r r ∂ r ∂ r ∂ r r r j + k g ui + vj + wk = ε xx + ε yy + ε zz = ∆ ∇gS = i + ∂y ∂z ∂x
(
)
切应变 (剪切应变) y
r
r
r
r
三个伸长应变
r ∇gS = ∆＝ε xx + ε yy + ε zz r r ¡切应变用于描述形状变化 ∇ × S = 2Ω
¡体应变用于描述体积变化
ε xx ε zz ε yy 三个切应变 ε xy ε yz ε xz
2
∂ w ∂v ∂v ∂u ∂u ∂ w − , 2Ω y = − , 2Ωz = − ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x ∂x ∂y r r 显然： ∇ × S = 2Ω ，代表了体元的旋转程度。
小结
∂u , ∂x ∂v ε yy = , ∂y ∂w ε zz = ; ∂z ∂ v ∂u + ε xy = ε yx = , ∂x ∂y ∂u ∂w + ε zx = ε xz = , ∂z ∂x ∂v ∂w + ε zy = ε yz = ; ∂z ∂ y ε xx = ∂v ∂u − , ∂x ∂y ∂u ∂w − 2Ω y = , ∂z ∂x ∂v ∂w − 2Ω x = . ∂z ∂ y 2Ω z =
中国石油大学(北京) 乔文孝
2008-10-26
固体中的应变
本节内容－描述固体介质内的各种形变 “形变”随时间和空间的变化就是弹性波的传播
固体中的应变分析
¡ 正应变(线应变、长应变) ¡ 体应变 ¡ 切应变(剪切应变)
正应变(线应变、长应变)
假wk.baidu.com固体介质内一个小体元的 形变只是体积大小的变化而形 状没有发生变化。 一小体元在 xy平面的投影 ABCD 形变后成为 A’B’C’D’ , A点的坐标为(x,y,z) ，
正应变和体应变描述了小体元体积的变化(假设形状不变)
x
ε xy = ε yx = θ1 + θ 2
由于 θ1 ≈ tanθ1 =
∂v θ ≈ tanθ = ∂u , , 2 2 ∂y ∂x
于 是 ε xy = ε yx = θ1 + θ 2 ≈
∂u ∂v + ∂y ∂x
r r r r S = ui + vj + wk
B' B C(x+dx,y+dy)
C' (x+dx+u+du,y+dy+v+dv)
切应变(剪切应变)
小方体元在 xy平面的投影 ABCD 经形变后成为菱形 A'B'C'D'. 其两棱边的 夹角的变化代表了 小体元的形变程度 的大小 于 是，定义小体元在 xy平面 内的切应变为
dy A'(x+u,y+v) A(x,y) dx D D'
类似可得小体元在 xz平面和 yz平面内的切应变分别 为
以下用切应变描述小体元形状的变化(假设体积不变)
ε xz = ε zx =
∂u ∂w ∂v ∂w + , ε yz = ε zy = + ∂z ∂x ∂z ∂y
1
中国石油大学(北京) 乔文孝
2008-10-26
切应变(剪切应变)
小方体元 ABCD 经形变后成为 菱形 A'B'C'D'. 其两棱边的 夹角的变化代表了 小体元的切形变大小 小体元在 xy平面内的切应变为 ∂u ∂v ε xy = ε yx = θ1 + θ 2 = + ∂y ∂x ∂v ∂u − =2Ω z 就是对角线 AC转动角度的 二倍 . 而 θ1 − θ 2 = ∂x ∂y 即Ω z 是小体元 绕 z轴的旋转角 . ∂u ∂w ∂w ∂v − , 2Ω x = − 类似地可以定义 2Ω y = ∂z ∂x ∂y ∂z Ω y为小体元绕 y轴的旋转角 , Ω x 为小体元绕 x轴的旋转角 .
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
位于 (x,y,z)处的质点的位移为S = ui + vj + wk 各种应变均无量纲 正应变(线应变、长应变) 用于描述小体元边长 的相对变化 体应变用于描述小体元体积的相对变化 切应变用于描述小体元形状变化的程度 事实上，这些应变往往是同时存在的 固体中的形变可用6个独立应变分量来描述
r r ∂ rot S =∇ × S = ∂x u r i
∂x r ∂x r
j k ∂ ∂y v
∂x
为位移矢量的旋度 ，rot =∇×为 旋度算符 由于 2Ω x =
∂ w ∂ v r ∂u ∂ w r ∂v ∂u r ∂ = − − − i + j+ k ∂z ∂y ∂z ∂ z ∂ x ∂ x ∂ y w
则该体元的体应变定义为该体 元体积的相对变化量 小体元体积的变化量 V '− V 小体元的体应变∆ = ＝ 小体元的原来体积 V
∆=
dx , dy , dz → 0
lim
( dx + ε xx dx ) ( dy + ε yy dy ) ( dz + ε zz dz ) − dxdydz
dxdydz