知识讲解 二元一次不等式组与平面区域 基础

二元一次不等式（组）与平面编稿：张希勇审稿：李霞

【学习目标】

1.了解不等式有丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具.

2.会从实际情境中抽象

出二元一次不等式组. 3.理解并能画出二元一次不等式表示的平面区域. 【要点梳理】要点一：二元一次不等式（组）的定义

1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元

一次不等式. 2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元

一次不等式组.

3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对(,)xy，所有这样的有序实数对(,)xy构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.

要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数. 要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：

二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.

二元一次不等式所表示的平面区域：

在平面直角坐标系中，直线:0lAxByC???将平面分成两部分，平面内的点分为三类：

①直线l上的点（x，y）的坐标满足：0???CByAx；

②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0???CByAx；

③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0AxByC???.

即二元一次不等式0AxByC???或0AxByC???在平面直角坐标系中表示直线

0AxByC???的某一侧所有点组成的平面区域，直线0AxByC???叫做这两个区域的边界，

（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.

要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定

二元一次不等式表示的平面区域

由于对在直线0AxByC???同一侧的所有点(,)xy，把它的坐标(,)xy代入AxByC??，所得到实数的符都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)xy，从

00AxByC??的正负即可判断

0AxByC???表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当0C?时，常把原点作为此特殊点）

以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法. 不等式组所表示的平面区域

由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：

因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

2. 画二元一次不等式0(0)AxByC????或0(0)AxByC????表示的平面区域的基本步骤：

①画出直线:0lAxByC???（有等画实线，无等画虚线）；

②当0?C时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C?时，另取一特殊

点判断；

③确定要画不等式所表示的平面区域.

要点诠释：“直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法. 【典型例题】

类型一：二元一次不等式表示的平面区域

例1. 画出不等式240xy???表示的平面区域. 【解析】先画直线240xy???（画成虚线）. 取原点(0,0)代入24xy??得200440??????, ∴原点不在240xy???表示的平面区域内，

不等式240xy???表示的区域如图：

【总结升华】

1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊

地，当0?C时，常把原点作为此特殊点.

2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线

举一反三：

【变式1】画出下列不等式所表示的平面区域

（1）4312xy??；（2）1?x

【答案】

（1）（2）

【变式2】(2015·漳州模拟)图中阴影（包括直线）表示的区域满足的不等式是（）

A．x-y-1≥0 B．x-y+1≥0 C．x-y-1≤0 D．x-y+1≤0

【答案】

直线对应的方程为x-y-1＝0，

对应的区域，在直线的下方，

当x＝0，y＝0时，0-0-1＜0，

即原点在不等式x-y-1＜0对应的区域内，

则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是x-y-1≥0，

故选：A．

【变式3】（2016 马鞍山）不等式3x+2y－6≤0表示的区域是（）

【答案】可判原点适合不等式3x+2y－6≤0，

故不等式3x+2y－6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y－6=0的左下方，

故选D。

类型二：二元一次不等组表示的平面区域

例2. 用平面区域表示不等式组???????????3005xyxyx

【思路点拨】

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

【解析】不等式x－y+5≥0表示直线x－y+5＝0上及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.不

等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：

【总结升华】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

举一反三：

【变式1】用平面区域表示不等式组3122yxxy???????.

【解析】不等式312yx???表示直线312yx???右下方的区域，