三角形的中位线及其性质

驶向胜利 的彼岸
2.求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相 平分.
A
F B E C
D
独立 作业 P94习题3.3 3题.
驶向胜利 的彼岸
3.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边 AB,CD,AC,BD的中点. 求证:四边形EGFH是平行四边形.
D
G
F H E
C
A
B
独立 作业 P94习题3.3 4题.
驶向胜利 的彼岸
4.已知:已知三角形各边长分别是8cm,10cm和12cm. 求以各边中点为顶点的三角形的周长.
A
F B E C
D
下课了!
结束寄语
• •
驶向胜利 的彼岸
严格性之于数学家,犹如道德之于人. 条理清晰，因果相应,言必有据.是初 学证明者谨记和遵循的原则.
猜一猜,三角形中位线有什么性质?
想一想
2
驶向胜利 的彼岸
三角形中位线的性质P89
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
1 求证:DE∥BC, DE BC . 2
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第 三边的一半.
A D E
分析:要证明线段的倍分关 系到,可将DE加倍后证明与BC 相等.从而转化为证明平行四 边形的对边的关系,于是可作 辅助线,利用全等三角形来证 明相应的边相等.
角
A
对角线
B C
等腰梯形的两 条对角线相等
做一做P89 1
挑战分割三角形
驶向胜利 的彼岸
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? 连接每两边的中点,看看得到 A 了什么样的图形? 四个全等的三角形.
D·
· E
请你设法验证上面的结论, 你敢应战吗?
B
· F
C
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
回顾与思考 2
驶向胜利的彼岸
平行四边形的性质与判定
A D
O
B C
性质
判定
边
平行四边形的①两 ①两组对边分别平行的四边形 组对边分别平行② ②两组对边分别相等的四边形 两组对边分别相等 ③一组对边平行且相等的四边形 平行四边形的①对 角相等②邻角互补 平行四边形的对角 线互相平分
D N C Q
角 对角线
你敢应战吗？分组选一个课题试一试.
回顾
思考
三角形中位线的性质
驶向胜利 的彼岸
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 A 边的一半. 1 ∴DE∥BC,DE BC . ∵DE是△ABC的中位, D E 2 这个定理提供了证明线段平行,和 线段成倍分关系的根据. 模型:连接任意四边形各边中点所 B A C E 成的四边形是平行四边形. B 要重视这个模型的证明过程反映出来的 H 规律:对角线的关系是关键.改变四边形 F 的形状后,对角线具有的关系(对角线相 D C 等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决 G 定了各中点所成四边形的形状.
2 2
(一组对边平等且相等的四边形是平行四边形)
F
我来应战P89 3
三角形中位线性质的运用
驶向胜利 的彼岸
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一 半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等. A
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED. D 分析:利用三角形中位线性质,可 转化用(SSS)来证明三角形全等. B 证明: F ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
B
C
证一证
2
驶向胜利 的彼岸
三角形中位线的性质P89
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF. A ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF, ∴△ABC≌△CDA(SAS). D E ∴AD=CF,∠ADE=∠F. ∴BD∥CF. B C ∵AD=BD, ∴BD=CF. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴DF∥BC,DF=BC. 1 1 ∴DE∥BC, DE DF BC .
6
一个运用中位线的重要“模型”
驶向胜利 的彼岸
改变四边形ABCD的形状，其它条件不变，□ EFGH的 形状会有什么变化？ A ①四边形ABCD是平行四边形； E B ②四边形ABCD是矩形； H ③在四边形ABCD是菱形； F ④四边形ABCD是正方形； ⑤四边形ABCD是梯形； D C G ⑥四边形ABCD是等腰梯形； ⑦四边形ABCD是对角线互相垂直的行四边形； ⑧四边形ABCD是对角线相等的行四边形； ⑨四边形ABCD是对角线相等且互相垂直的行四边形.
E
C
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半).
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
DE BF FC. EF AD DB. FD CE EA.
随堂练习P91 4
测量两点之间不能到达的距 离的方法:------中位线法
驶向胜利 的彼岸
已知:如图,A,B两地被池塘隔开, A 在没有任何测量工具的情况下,有 M 通过学习方法估测出了A,B两地之 间的距离:先在AB外选一点C,然后 步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN C N 的长,由此他就知道了A,B间的距 离.你能说出其中的道理吗? 其中的道理是: 连结A、B,∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
B
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一个运用中位线的重要“模型”
驶向胜利 的彼岸
如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样 四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗? A E 猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结论 B 对所有的四边形ABCD都成立. 已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别 H F 为各边的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形. D C G 证明:连接AC. 分析:将四边形ABCD 分割为三角形,利用三 ∵E,F,G,H分别为各边的中点, 1 1 角形的中位线可转化 HG∥AC,HG AC. ∴EF∥AC,EF AC. 两组对边分别平行或 2 2 一组对边平行且相等 ∴ EF∥HG, EF=HG. 来证明. ∴四边形EFGH是平行四边形.
M A
两组对角分别相等的四边形 对角线互相平分四边形
推论
P B
夹在两条平行线间的平行线段相等
回顾与思考 2
驶向胜利的彼岸
等腰梯形的性质与判定A B D C来自性质判定边
两底平行,两腰 相等 等腰梯形同一底 上的两个角相等
D
两腰相等的梯 形是等腰梯形 同一底上的两个角相 等的梯形是等腰梯形 两条对角线相等的 梯形是等腰梯形
独立 作业
知识的升华
驶向胜利 的彼岸
P94习题3.3
1,2,3,4题.
祝你成功！
独立 作业 P94习题3.3 1题.
驶向胜利 的彼岸
1.已知:在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点. 求证:四边形AFDE的周长等于AB+AC.
A
F B E C
D
独立 作业 P94习题3.3 2题.
九年级数学(上)第三章 证明(三)
1.平行四边形(4)三角形的中位线 及性质
回顾与思考 1
驶向胜利的彼岸
学好几何标志是会“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求 证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果” 索“因”); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出 证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.