高等数学期末复习- 多元函数微分学

高等数学期末复习

第九章 多元函数微分学

一、内容要求

1、会求简单二元函数定义域

2、会求多二元函数表达式和值

3、会求简单二元函数的极限

4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达

5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值

6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式

7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数

8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数

9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数 10、会求多元函数全微分 11、会求多元隐函数的偏导数

12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性 13、能观察出简单多元函数极值情况

14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题 15、会求空间曲面的切平面、法线方程 16、会求空间曲线的切线、法平面方程 17、会求多元函数的方向导数 18、会求多元函数的梯度

二、例题习题

1、二元函数x y

z arcsin =的定义域是( )

A.|}||||),{(x y y x ≤

B. }0|||||),{(≠≤x x y y x

C. }0|||||),{(≠>x x y y x

D. }0|||||),{(≠≥x x y y x

解：使函数x y z arcsin =有意义，只要||1,0y

x x

≤≠，即||||,0y x x ≤≠，所以，选B. （内

容要求1）

2、函数22

1

(,)ln()=++

+f x y x y x y 的定义域为 ；

解：使函数22

1(,)ln()=++

+f x y x y x y

有意义，只要22

0,0x y x y +>+≠，所以填22{(,)|0,0}x y x y x y +>+≠（内容要求1）

3、设2

2

(,),f x y x y x y +-=-则(,)f x y =( ).

(A) 22x y - (B) 22x y + (C) 2

()x y - (D) xy

解：令,u x y v x y =+=-，则,22

u v u v

x y +-=

=

，于是 22(,)f x y x y x y +-=-⇒(,)f u v uv =

即由函数与自变量记号选取无关性有(,)f x y xy =。所以选D 。（内容要求2）

4、设22

(,)2+=x y f x y xy

，则(2,3)-=f ；

解：

4913(2,3)1212f +-=

=--，所以填13

12

-。（内容要求2） 5、

(,)(0,0)

lim

x y →=( )；

A.

2

1

B. 41

C. 1

D. 0

解：

(,)(0,0)

(,)(,)(0,0)

12lim

lim lim x y x y x y →→→===

所以选A 。（内容要求3） 6、

(,)(0,0)sin lim

→=x y xy

x ；

解：

(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)

sin sin sin lim

lim []lim lim 0x y x y x y x y xy xy xy

y y x xy xy →→→→=⋅=⋅=

所以填0。（内容要求3） 7、

(,)(2,0)sin lim

x y xy

y →= ；

解：

(,)(2,0)(,)(2,0)(,)(2,0)

sin sin lim

lim lim 2x y x y x y xy xy

x y xy →→→=⋅=，所以填2。（内容要求3）

8、函数

) ,(y x f 在点)0 ,0(处存在偏导数，则=-→x

x f f x )

0,2()0,0(lim

0 ( )；

A ．)0,0(21'x f

B ．)0,0(2

1'-x f C ．)0,0(2'-x f D ．)0,0(2'

x f

解：由偏导数定义，00(0,0)(2,0)(2,0)(0,0)

lim

2lim 2(0,0)2x x x f f x f x f f x x

→→--'=-=- 所以选C 。（内容要求4） 9、 函数

) ,(y x f 在点)0 ,0(处存在偏导数，则=-→y

y f f y 2)

,0()0,0(lim

( )；

A ．

)0,0(2

1'y f B ．)0,0(21'-y f C ．)0,0(2'-y f D ．)0,0(2'

y f

解：由偏导数定义，0

0(0,0)(0,)1(0,)(0,0)1

lim

lim (0,0)222

y y y f f y f y f f y y →→--'=-=-

所以选B 。（内容要求4）

10、 函数) ,(y x f 在点) ,(00y x 处存在偏导数，则=∆∆--→∆x

y x x f y x f x )

,(),(lim

00000

( )；

A ．),(00y x f x '

B ．),(00y x f x '-

C ．),(00y x f y '

D ．),(00y x f y '- 解：由偏导数定义，

00000000000

0(,)(,)(,)(,)

lim

lim (,)x x x f x y f x x y f x x y f x y f x y x x

∆→∆→--∆-∆-'==∆-∆ 所以选A 。（内容要求4） 11、函数

) ,(y x f 在点) ,(00y x 处偏导数存在是) ,(y x f 在点) ,(00y x 处连续的( )；

A ．充分必要条件

B ．必要条件

C ．充分条件

D ．既不充分也不必要条件 解：选D 。（内容要求4）

12

、设函数

2(,)=+f x y x (1,1)'=y f ( ).

(A) 1 (B) 2 (C)

1

2

(D) 3

解：(,)y f x y '=

1

(1,1)2

y f '=

，所以选C 。（内容要求5） 13、设2y z x =，则

2(1,1)

z

x y -∂=∂∂( ). (A)

2- (B) 1- (C) 2 (D) 1

解：22222,z y z y x x x y x ∂∂=-=-∂∂∂，所以2(1,1)

2z x y -∂=∂∂，所以选C 。（内容要求5）

14、2

2

ln(1)z x y =++，则1

2

d |

x y z

===

解：

222222,11z x z y x x y y x y ∂∂==∂++∂++，所以，112212|,|33

x x y y z z x y ====∂∂==∂∂，故 1212d 33|x y z dx dy ===+，所以填12

12

d 33|x y z dx dy ===+。（内容要求6）