高中数学(人教版)偏导数课件

在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数 必相等. 注 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.
2u 2u 2u 1 例8 证明函数 u 满足拉普拉斯方程 2 2 2 0 x y z r 2 2 2 r x y z . 其中
z 2z ( ) 2 f x x ( x , y ); x x x
z 2z ( ) f y x ( x , y ); x y y x
2z z ( ) f x y ( x, y) y x x y
z 2z ( ) 2 f y y ( x, y) y y y
结论 偏导数存在 连续
偏导数
一、偏导数
二、高阶偏导数
偏导数
一、偏导数
二、高阶偏导数
概念 设 z = f (x , y)在区域 D 内具有偏导数
z f x ( x, y) , x
z f y ( x, y) y
若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f (x, y) 的 二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数
z
M0
z f ( x , y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
z f ( x, y ) 在点M 处的切线 是曲线 M 0T y 对 y 轴的斜率. 0 x x0
0 0 0
y y0
y y0
0
定义2 如果函数z=f (x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在 , 那么这个偏导数就是x 、y的函数，它就称为函数z=f (x,y)对 自变量x的偏导函数，记作： z f , , zx , f x x x 类似地，可以定义函数z=f (x,y)对自变量y的偏导函数, z f 记作： , , zy , f y y y 通常把偏导函数简称为偏导数
一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法
(三) 几何意义
(四) 与连续的关系
一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法
(三) 几何意义
(四) 与连续的关系
例5 考察 f ( x , y )
xy x2 y2
( x , y ) ( 0 ,0 ) ( x , y ) ( 0 ,0 )
0
在(0,0)处的偏导数与连续性. 例6 考察 f ( x , y ) x 2 y 2在(0,0)处的偏导数与连续性.
类似可以定义更高阶的偏导数.
混合偏导数
求法 例7 求函数 z
e
x2 y
2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注 此处 x y y x 2z 2z 定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数 及 x y y x
3 z . 的二阶偏导数及 2 y x
(三) 几何意义
(四) 与连续的关系
2 2 例1 求 z x 3 xy y 在点(1,2)处的偏导数.
例2 求 z x 2 sin 2 y 2 xy sin x sin y y 2的偏导数. 例3 已知理想气体的状态方程为： PV RT(R为常量), P V T 求证： 1. V T P z 注 x是一个整体记号，不能看成分子与分母之商. 2 y3 ( x , y ) ( 0 ,0 ) 2 2 例4 f ( x , y ) x y 求 f x (0,0), f y (0,0). ( x , y ) ( 0 ,0 ) 0
第二讲 偏导数
偏导数
一、偏导数
二、高阶偏导数
偏导数
一、偏导数
二、高阶偏导数
一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法
(三) 几何意义
(四) 与连续的关系
一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法
(三) 几何意义
(四) 与连续的关系
引入 理想气态方程： P 温度T不变 容积V不变
z f ( x, y )
二元函数
定义1 设函数z=f (x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0 而x在x0有增量Δx时,相应的函数有增量:f (x0+Δx,y0)－f (x0,y0)
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim x 0 x 存在，那么称此极限为函数z=f (x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数， 记作： z f , , z x x x0 , f x ( x0 , y0 ) x x x0 x x x0 y y0
注 分段函数在分段点处的偏导数必须用定义求.
一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法
(三) 几何意义
(四) 与连续的关系
一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法
(三) 几何意义
(四) 与连续的关系
二元函数偏导数的几何意义:
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x y0
类似地，函数z=f (x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为： f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim y 0 y 记作： z f , , z y x x , f y ( x0 , y0 ) y x x y x x y y
偏导函数与偏导数的区别与联系: 区别:
联系:
f x ( x, y )
函数
x x0 y y0
f x ( x0 , y0 )
数
f x ( x0 , y0 ) f x ( x, y )
一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法
(三) 几何意义
(四) 与连续的关系
一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法
RT V 等温过程
P对V的变化率？ P对T的变化率？
等容过程
固定y 固定x 一元函数
z对x的变化率？ z对y的变化率？ f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) z lim lim x 0 x x 0 x f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) z lim lim y 0 y x 0 y