函数的一致连续性

哈尔滨师范大学

学年论文

题目关于函数一致连续的探究

学生万鑫

指导教师曾伟梁副教授

年级 2008级

专业信息与计算科学

系别信息系

学院数学学院

哈尔滨师范大学

2011年 6 月

关于一致连续函数的判据

万鑫

摘 要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题，现实问题。我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。

关键词：一致连续 非一致连续 判别依据 比较判别法 比值判别法。

一 函数)(x f 一致连续的概念

定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ， 即

()()a f x f a

x =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点.

用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续⇔0>∀ε,0>∃δ，x ∀：,δ<-a x 时，有()()ε

定义2： 设函数()x f 在区间I （开区间，闭区间，半开区间及无穷区间）上有定义，若0>∀ε,0>∃δ，I x x ∈∀

2

1

,,δ<-X

X 2

1

时，有()()ε

可以看出，函数c 在I 上一直连续是指：不管x 1

,x 2

在I 中的位置如何，只要他们的距离

小于δ，可使()()ε

2

1

-，其中x 1

,x 2都可变，δ依赖于ε而与x 1,x 2

无关。

定义3： 设函数()x f 在区间I 上有定义，若0>∃ε,0>∀δ ,I x x ∈∃

2

1

, ,

δ<-X

X 2

1

时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。

对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数

ε0

，不论任何的正数δ，在区间I 内至少存在两点与x 1

x 2,虽然δ<-X X 21，但()()ε≥-x x f f 2

1。

评注1：一直连续的实在，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差（就绝对值来说）可以任意小。

用定义证明函数)(x f 在I 上一致连续，通常的方法是设法证明函数)(x f 在I 上满足lipschitz 条件，)()(x f x f ''-'≤x x ''-'，∀x '，x ''∈I ，其中L 为某一常值函数，此条

件必成立。特别的若函数)(x f '在I 上是有界函数，则函数)(x f 在I 上lipschitz 条件成立。

二 函数一致性连续的判断依据

（一）一致连续函数()x f 的运算性质

性质 1 设函数()x f 与()x g 在区间I 上一致连续，则()()x bg x af +在区间I 上也一致连续（b a ,为任意常数）。

性质 2 设函数()x f 与()x g 在区间r 上一致连续且有界,则()()x g x f *在区间r 上一致连续且有界。

性质 3 设函数()x f 在区间I （有限或无限）上一致连续，且有正的下确界（或负的

上确界），则

()

x f 1

在区间I 上也一致连续。 性质4 设函数()x f 在区间I 上一致连续，()x g 在区间u 上一致连续，且()I u g ∈ ,则复合函数()()x g f 在区间u 上一致连续。

性质5 设函数()x f 与()x g 在有限区间I 上一致连续，则()()x g x f *在有限区间I 上也一致连续。

必需指出，对于一致连续函数的反函数的一致连续性未必成立。例如函数()x x f =

在

()+∞,0上一致连续，而它的反函数在()+∞,0上非一致连续。但可以证明在有限区间上此结

论为真。

例 1 若函数()x f 是有限区间I 上的一直连续函数，()x g 在I 上非一致连续，问：

()()x g x f ±在区间I 上一致连续性？

解：假设()()x g x f +在区间I 上一致连续，又()x f 是有限I 上的一直连续函数，由性质1可得()()()[]()x f x g x f x g -+=在I 的一致连续，这与条件矛盾！所以()()x g x f +在区间I 上非一致连续，同理()()x g x f -在区间I 上非一致连续，所以()()x g x f ±在区间

I 上非一致连续性.

（二）一致连续的判断依据

命题 1 若函数()x f 在区间

I 上满足lipschitz 条件，即I y x ∈∀,,有

()()y x k y f x f -<-,其中k 为常数，则函数()x f 在区间I 上一致连续。

证明：因为函数在区间I 上满足lipschitz 条件，即I y x ∈∀,,有

()()y x k y f x f -<-，于是，0>∀ε,由于()()ε<-<-y x k y f x f ,有k

y x ε

<

-,

取0>=k

ε

δ,且δ与y x ,无关，

从而0>∀ε, 0>=∃k

ε

δ，I x x ∈∀21,：δ<-X X 21,

有()()ε

2

1

-，故函数()x f 在区间I 上一致连续。

命题2（康托定理）若函数()x f 在区间],[b a 上连续，则函数()x f 在区间],[b a 上也一致连续.

证明（反证法） 假设函数()x f 在区间],[b a 非一致连续，取n

1

=δ，......)3,2,1(=n ,则在],[b a 区间内存在两点

x n

1

,

x n

2......)3,2,1(=n ，有

n x x n n

121<-,但ε021

≥⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝

⎛x x n n

f f .根据魏斯特拉斯定理知，在有界数列}1{x n 中存在一个收敛的子列x x n k

01

→ )(∞→k ,其中

],[0b a x ∈,又由于n

x x k n n k

k 12

1<-即021→-x x n n k

k

)(∞→k ,因为x x n k

01→)(∞→k ，并且ε0

21≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x n n f f 对一切k 都成立。另外函数()x f 在点

x

连续，根据函数极限与数列极限的关系，有

()x x f n f x k k 01lim 0=⎪⎭

⎫ ⎝⎛→,().20lim 0x x f n f x k

k =⎪⎭⎫

⎝⎛→于是021lim 0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x n f n f x k k k ，ε021≥⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝

⎛x x n

n

f f .所以函数()x f 在区间],[b a 上连续，则函数()x f 在区间],[b a 上也一致连续.

评注：命题2对开区间不成立。例如函数)(x f =

x

1

在)1,0(在区间上的每一个点都连续，但并非一致连续，事实上，对于任意小的0 δ，令δ=1x ，δ22=x ，则δ=-21x x ，则()()δ

1

21=

-x f x f ，这时21x x -可以任意小，而()()21x f x f -可以任意大。函数