第3章_刚体定轴转动

第三章刚体定轴转动

本章前言

◆本章学习目标

理解刚体定轴转动定律和角动量定理的内容及其综合应用。

◆本章教学内容

1、刚体绕固定轴的转动。

2、刚体的定轴转动定律。

3、刚体的角动量定理和角动量守恒定律。

◆本章重点

刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量；力矩计算、转动定律的应用；

刚体转动动能、转动时的角动量的计算。

◆本章难点

力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。

§3.1刚体及刚体运动

3.1.1 刚体的概念

物体的一些运动是与它的形状有关的，这时物体就不能看成质点了，其运动规律的讨论就必须考虑形状的因素。有形物体的一般性讨论也是一个非常复杂的问题，全面的分析和研究是力学专业课程学习的内容。在大学物理中，我们讨论有形物体的一种特殊的情况，那就是物体在运动时没有形变或形变可以忽略的情况。如果物体在运动时没有形变或其形变可以忽略，我们就能抽象出一个有形状而无形变的物体模型，这模型叫做刚体。刚体的更准确更定量的定义是：如果一个物体中任意的两个质点之间的距离在运动中都始终保持不变，则我们称之为刚体。被认为是刚体的物体在任何外力作用下都不会发生形变。实际物体在外力作用下总是有形变的，因此刚体是一个理想模型。它是对有形物体运动的一个重要简化。实际物体能否看成是刚体不是依据其材质是否坚硬，而是考察它在运动过程中是否有形变或其形变是否可以忽略。正如质点中所讨论的那样，刚体也就是一个质点系，而且是一个较为特殊的刚性的质点系，它的运动规律较之于一个质点相对位置分布可以随时改变的一般质点系而言，要简单得多。

3.1.2 刚体运动及其分类

刚体运动的基本形式有平动和转动，刚体任意的运动形式都可以看成是平动和转动的迭加。

一、刚体的平动

1、平动的定义

如果在一个运动过程中刚体内部任意两个质点之间的连线的方向都始终不发生改变，则我们称刚体的运动为平动。平动的示意图如下。电梯的上下运动，

缆车的运动都可看成刚体平动。

刚体的平动

2、平动的特点

刚体平动的一个明显特点是，在平动过程中刚体上每个质点的位移、速度和加速度相同。这意味着，如果我们要研究刚体的平动，只需要研究某一个质点，例如质心的运动就行了。因为这一个质点的运动规律就代表了刚体所有质点的运动规律，也即刚体的运动规律。在这个意义上我们可以说，刚体平动的运动学属于质点运动学，可以使用质点模型。刚体平动的动力学也可以使用质点模型，通过质点动力学来解决。这实际上并不是新问题，如牛顿运动定律的多数题目中出现的都是有形状的物体，但只要它是在平动，我们就仍可以用牛顿运动定律来正确地处理它们。实际上，这时我们用牛顿运动定律求出来的是质心的加速度，但是由于在平动中刚体上每个质点的加速度相同，所以质心的加速度也就代表了所有质点的加速度。综上所述我们知道，刚体平动可以使用质点模型，我们可以用前面质点力学中的知识去分析和处理它们。

二、刚体的定轴转动

1、转动的定义

如果在一个运动过程中，刚体上所有的质点均绕同一直线作圆周运动，则我们称刚体在转动，该直线称为转轴。如火车车轮的运动、飞机螺旋浆的运动都是

转动。如果转轴是固定不动的，则称为定轴转动，如车床齿轮的运动、吊扇扇页的运动均属于定轴转动。

转动是否是定轴的，取决于参照系的选择。

刚体的定轴转动

2、定轴转动的特点

定轴转动中刚体上的任一质点p都绕一个固定轴作圆周运动，见上图，习惯上常把转轴设为z轴，圆周所在平面M称为质点的转动平面，转动平面与转轴垂直。质点作圆周运动的圆心O叫做质点的转心，质点对于转心的位矢r叫做质点的矢径。定轴转动显著的特点是：转动过程中刚体上所有质点的角位移、角速度和角加速度相同，我们称之为刚体转动的角位移、角速度和角加速度。

3.1.3 描述刚体定轴转动的物理量

刚体定轴转动最佳的描写方法是角量描写。物体转动的角速度和角加速度是有方向的，我们常说某物体转动的角速度是逆时针方向或顺时针方向，就是在描述角速度的方向。对于刚体定轴转动，转动方向的描述与观察方向有关，在下图中逆着z轴从上向下看和沿着z轴从下向上看得到的结论正好相反。为了准确描述角速度和角加速度的方向，我们把角速度和角加速度定义为矢量。角速度和角加速度已经有了大小的定义，现在要赋予它们方向。

一、角速度矢量

我们规定，物体的角速度矢量的方向与直观的转动方向构成右手螺旋关系：当我们伸直大姆指并弯曲其余的四个手指，使四个手指指向直观的转动方向时，大姆指所指的方向即为角速度矢量的方向。在上图（a）中，刚体的转动是逆时针方向的，按右手螺旋法则，我们说它的角速度沿z轴向上；在上图（b）中，刚体的转动是顺时针方向的，我们说它的角速度向下。角速度矢量还可以使用如下的数学表达式来表示：

（1）

式中n表示转动方向，ω表示角速度的大小。

二、角加速度矢量

角加速度矢量定义为

（2）

显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图（a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方向。

角加速度矢量

显然，在刚体的定轴转动中，角速度和角加速度矢量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。可以把沿z轴的角速度叫做正角速度，逆着z轴的角速度叫做负角速度，这是角速度的标量表述。对角加速度也可作同样的标量表述，读者可自行推广。

三、定轴转动的线量

当刚体作定轴转动时，刚体上的各个质点都有速度和加速度。这些质点的速度和加速度与刚体的角速度和角加速度矢量有什么关系呢？在矢量描述中，刚体定轴转动的角量与线量的关系将包含方向之间的关系而表现得更加完整。若考察刚体上的一个质点对z轴的径矢为r，则其速度、切向加速度和法向加速度和角速度与角加速度的矢量关系为：

(3)

这个式子大家可以自己推导。其意义可以由下图看出。