《函数的概念及表示》教学设计方案(人教A版必修)

1.2 《函数的概念及表示》教案设计

【教案目标】

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. （2）理解函数的概念，并且会灵活运用函数的概念解题. （3）明确函数的三种表示方法.

（4）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数. （5）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用. 【导入新课】 回顾问题导入：

1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量.（表示方法有：解读法、列表法、图象法）. 新授课阶段 （一）函数的概念：

思考1：（课本P 15）给出三个实例：

A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845M ，且炮弹距地面高度h （M ）与

时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.

B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空

臭氧层空洞面积的变化情况.（见课本P 15图）

C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的

高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.（见课本P 16表） 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在

着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对

应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →

1. 函数的定义：

设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.

其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.显然，值域是集合B 的子集. （1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ；

（2）二次函数2

y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域

244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭

.

（3）反比例函数(0)k

y k x

=≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠.2. 区间及写法：

设a 、b 是两个实数，且a

（1） 满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2） 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；

（3） 满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为

[)(],,,a b a b ；

这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点.（数轴表示见课本P 17表格）符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.我们把满足

,,,x a x a x b x b

≥>≤<的实数x 的集合分别表示为

[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞.

例1 对范围1x a -≤≤用区间表示正确的为（ ）

A ．()1,a -

B ．[]1,a -

C ．[)1,a -

D ．(]1,a -

【解读】根据区间的表示法可以知道，如果取到等号时，用闭区间，否则用开区间，因此选B.

【答案】 B

3. 函数定义域的求法：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解读式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.

例2 函数x x y 22

-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为 （ ）

A ．{}3,0,1-

B ．{}3,2,1,0

C ．{}31≤≤-y y

D ．{}

30≤≤y y 【解读】只需把x =0，1，2，3代入计算y 即可. 【答案】A

例3 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式()y f x =，并写出它的定义域．

【分析】首先审题，得到框架围成的面积与半圆半径之间的关系，然后根据实际意义找到半圆半径的取值范围.

解：根据题意得，2AB x =, CD =x π,于是AD=

2

21x

x π--， 因此，2

12222

x x x y x ππ--=⋅+，即242y x lx π+=-+. 由⎪⎩

⎪⎨⎧>-->02210

2x x x π，得102x π<<+，

∴ 函数的定义域为（0，

2

1

+π）. 例4 记集合M {}

230x x =->，函数)1)(3()(--=x x x g 的定义域为集合N ．求：

（Ⅰ）集合M ，N ；

（Ⅱ） 集合N M ，N M

分析：对于偶次根式，只要使得被开方式非负即可，同时要熟练运用集合的有关运算解决. 解：（Ⅰ）};2

3|{}032|{>=>-=x x x x M

}13|{}0)1)(3(|{≤≥=≥--=x x x x x x N 或