高考数学第68炼 离心率问题

第68炼 圆锥曲线的离心率问题

离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式：c

e a

=

（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞

2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：2

2

2

a b c =+，

① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：2

2

2

c b a =+

① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -=

② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距

3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：

（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解

2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可

（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率

注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：

例1：设12,F F 分别是椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段

1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为

（ ） A

．

3 B

．6 C ．13 D ．1

6

思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴

上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212P F F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F

答案：A

小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭

配形成三角形的中位线。

例2：椭圆

(22

2

1012x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F

PF ∠=,则椭圆的离心率为________

思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，

''''

1

::22

b a b

c a =⇒=，不

妨设P 在第一象限，则由椭圆定义

可得：12PF PF +='122PF PF a -==

，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()

2

2

22

12

1212

=

2

PF PF PF PF PF PF ++-+

代入可得：2

2164885

c c c +=⇒=

c e a ∴==答案：

6

小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。

例3：如图所示，已知双曲线()22

2210x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线

的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）

D. 2

思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表

2AF FB =转化答案：B

例4：设21F F ，分别为双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使

得,4

9

||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =

⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.4

9

D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与

,4

9

||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =

⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：

122PF PF a -=

()()

2

2

12

12

124PF PF PF

PF PF PF ∴+--=⋅

即2

2

2

2

9499940b a ab b ab a -=⇒--=

2

9940b b a a ⎛⎫

∴-⋅-= ⎪⎝⎭

解得：13b a =-（舍）或43b a =

::3:4:5a b c ∴= 53

c e a ∴=

= 答案：B

例5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的四个

顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .

思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，在利用条件求出离心。首先直线121,A B B F 的方程含,,a b c ，联立方程后交点T 的坐标可用,,a b c 进行表示（()2,b a c ac T a c a c +⎛⎫

⎪--⎝⎭

），则OT 中点

()(),2b a c ac M a c a c ⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭

，再利用M 点在椭圆上即可求出离心率e 解：直线12A B 的方程为：

1x y

a b

+=-； 直线1B F 的方程为：1x y

c b +=-，联立方程可得：bx ay ab cy bx bc -=-⎧⎨

-=-⎩

解得：2()

(,)ac b a c T a c a c

+--，

则()

(

,)2()

ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上， 22222

22

()1,1030,1030()4()

c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--

解得：5e =

答案：5e =

例6：已知F 是双曲线2221x a b

2

y －＝

()0,0a b >>的左焦