4.4正态随机变量线性函数的分布

[推论] 设随机变量 X 服从正态分布, 则标准化的
随机变量
X * X ~ N (0 ,1).
在定理1中，设 a , b 1 即得结论.
[定理2] 设随机变量X 与Y 独立，并且都服从正态分布：
X
~
N (x
,
2 x
)
,
Y
~
N ( y
,
2 y
)
,
则它们的和也服从正态分布，且有
Z
X
Y
~
i1
i1
i1
思考题
1.设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为1 ,标准差 为 2的正态分布，而 Y 服从标准正态分布，试求随机 变量 Z 2X Y 3 的概率密度. 解：已知 X 与Y 独立，且X ~ N(1 ,2) ,Y ~ N(0 ,1) ,
E(Z ) E(2X Y 3) 2E( X ) E(Y ) 3 5
i1
n
n
n
ci Xi ~ N(
cii ,
ci2
2 i
),
i1
i1
i1
其中 c1 ,c2 , ,cn 为常数.
例 设 X ,Y 是两个相互独立的服从同一正态分布
N (0 ,(
1 )2 ) 的随机变量，求随机变量 2
X Y
的数学
期望 E( X Y ).
解: 设Z X Y,由正态随机变量的线性性质知
Z X Y ~ N(0 ,1) ,
于是 Z的概率密度为
fZ (z)
1
z2
e 2 , z .
2π
所以，
E( Z ) z
1
z2
e 2 dz
2π
1
z2
z e 2 dz
2 π
2
z2
z e 2 dz
2π 0
2. π
小结
1. 若 X ~ N( , 2)，则当b 0时，
Y a bX ~ N(a b ,b2 2).
第四章
正态分布
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理1] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 则 X
的线性函数 Y a bX (b 0) 也服从正态分布：
Y a bX ~ N (a b ,b2 2).
证：由分布函数定义，Y 的分布函数为
FY ( y) P(Y y) P(a bX y).
若 b 0 则有
求导得
FY
( y)
P( X
y
b
a)
FX
(y
b
a),
fY
( y)
[FX
(
y
b
a)]
1 b
fX
(
y
b
a)
1
e , [
y
( a b 2b2 2
)]2
2 πb
所以Y ~ N(a b ,b2 2). 当b 0 时类似地可证.
定理1表明： 正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.
D(Z ) D(2X Y 3) 4D( X ) D(Y ) 9
所以 Z 2X Y 3 ~ N (5 ,9).
由此可知，Z 的概率密度为
fZ (z)
3
1
( z5)2
e 18 ,
2π
z .
2.设随机变量 X 服从正态分布 N( , 2) , 且二次方程
y2 4y X 0 无实根的概率为0.5 , 则 _____.
特别：
X ~ N (0 ,1).
2.
随机变量 X
与 Y 相互独立，且
X
~
N(x
,
2 x
),
Y
~
N ( y
,
2 y
),
则
X
Y
~
N (x
y
,
2 x
2 y
).
推广：
设
X1 , X 2 ,
Xn
相互独立，且
Xi
~
N (i
,
2 i
),
n
n
n
i 1 ,2 , ,n, 则
ci Xi ~ N ( cii , ci2i2 ).
N(x
y
,
2 x
2 y
).
定理2表明： 独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.
由定理1及定理2 还可得下面更一般的结论.
[定理3] 设随机变量 X1 , X 2 , , X n 相互独立，且都
服从正态分布：X i
~
N (i
,
2 i
),
i 1,2 ,
n,
则它们
n
的线性组合 ci Xi 也服从正态分布，且有
解： 方程 y2 4y X 0 无实根就是 16 4X 0 ,
即X 4, 按题意,有 P(X 4) 0.5 , 即 P(X 4) 0.5.
已知 X ~ N( , 2) ,所以
P( X 4) P( X 4 ) (,
因为
(0)
0.5
,
所以应有
4
0
,
由此得
4.