寿险精算均衡净保费

2013-7-28 广东金融学院保险系 葛仁良
净均衡保费的种类

完全连续净均衡保费

死亡即刻给付 连续缴费 死亡年末给付 离散缴费 死亡即刻给付 离散缴费

完全离散净均衡保费


半连续净均衡保费

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完全连续年缴净均衡保费的厘定 （以终身人寿保险为例）
0.1, k=0,1,...,9
Pr( K 2) 20%
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净保费厘定原则
同时，对任意的 s 2 ，有
Pr( K s) 30%
于是，满足
Pr( K ln(1 d / P) / 1) 20%
的最小的 P 应该满足：
ln(1 d / P) / 1 2
第五章 净均衡保费
2013-7-28
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第一节 保费简介
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保费的构成
毛保费 （购买费用）
纯保费 （将来保单受益的精算现值）
附加费用 （与保单相关的费用的精算现值）
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保费的分类

按保费缴纳的方式分：
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净保费厘定原则
解： K k ， 当 年度保费为 P 的情况下， 保险公司一份保单亏损的现值为：
l ( x) vk 1 PaK 1
(1 P / d )vk 1 P / d
相应的（保险人的）损失随机变量为
k 0,1,...,9
T
Ax ax
P

)
P

] (1
P

) 2 [ 2 Ax ( Ax ) 2 ]
2 ax Ax 2 2 Ax ( Ax ) 2 （ ）[ Ax ( Ax ) 2 ] ax ( ax ) 2
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例5.1

已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求
生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付， 生存年金受益期初支付） Ax:1 , ax , m ax , ax:n , m n ax n 两全保险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付， 生存受益期末支付）


Ax:n
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第二节 净均衡保费


条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险 人从保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也 连续） 厘定过程： （ ）L l (T ) vT P ( Ax )aT 1
(2) E ( L) 0 Ax P ( Ax )ax 0 P ( Ax ) (3)Var ( L) Var[v (1
Lv
K 1
PaK 1
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净保费厘定原则
（1）由原则Ⅰ，要使亏损概率不超过 20%，因此有
Pr(L vKwk.baidu.com1 PaK 1 0) 20%
也即
Pr( K ln(1 d / P) / 1) 20%
因为 l (k ) 关于 k 单调递减，又因为 k| qx 所以
bt t 为相应保险的现值随机变量。
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完全连续均衡年度保费确定方法
由等价原则，有
E[bTT PY ] 0
或
P E[bTT ] / E[Y ]
由上式，我们可以确定一般保险的年度保费，对一些主要的保 险，可有如下净保费公式：
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h
保费公式
Px Ax ax M x N x
a x:n Ax:n 1
1 a x:n Ax:n P( Ax:n ) a x:n 1 Ax:n
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完全离散纯净均衡保费厘定 （终身寿险为例）


条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险， 被保险人从保单生效起按年期初缴费。 厘定过程：
9
P a10 / ( Da)10 0.15781
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净保费厘定原则
（3）由原则Ⅲ，有
exp(0.1) E[exp{0.1( L)}]
exp(0.1) E[e0.1L ]
即
E[e0.1L ] 1
可以解出
P 0.16019

一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费 以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费 只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费 既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费
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按保险的种类分：

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常见险种的趸缴纯保费

纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付） 1 Ax , m Ax , Ax:n , m n Ax
例5.3答案
(1) L v k 1 Pak 1 (1 E ( L) 0 [(1
k 0 3
P k 1 P )v d d
P k 1 P 1 P P )v ]k q0 0 [(1 )a4 0.06 4 ] 0 d d 4 d d
0 2 0


Ax 0.04 exp(0.04t )(exp(0.06t )) 2 dt 0.25
0
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例5.1答案
Ax (1) P ( Ax ) 0.04 ax Ax ( Ax ) 0.09 (2)Var ( L) 0.25 2 2 ( ax ) 0.6
2 2
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完全连续均衡年度保费确定方法
利用等价原则，可以确定一般的完全连续人寿保险的年度保费。因为，一般 的损失为：
bT T PY Z PY
其中： bt 和
t 分别为前面定义过的保额函数的贴现因子； P 为完全连续
净年度保费的一般符号；Y 是如第三章中的定义的连续型年金的现值随机变 量； Z
P ( Ax： ) Ax： ax： n n h
h年缴费n年两全保险 n年生存保险
m年递延终身生存保险
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h
P ( Ax:n1 ) Ax:n1 ax： n
P ( m ax ) Ax:1 ax m ax:m m
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例5.2
假设死亡力 0.04 ，利息力 0.06 均为常 数。求连续型单位保额的 20 年定期死亡保险的净 保费和相应的损失 L 的方差。
完全离散均衡年度保费确定方法
由等价原则有
E(bK 1vK 1 PY )=0 E[bK 1vK 1 ] P E[Y ]
由此，可以得出各种完全离散保险的净保险公式
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常见险种的完全离散净均衡保费总结
险种
终身人寿保险
n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险
1 0 0
20
20

2
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[1 e20(2 ) ] 0.4(1 e3.2 ) 0.3837
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例5.2答案
a x:20
1
1 e20( ) t t Px dt 9.64665 0
20
1
A x:20 P ( A x:20 ) 0.04 a x:20 Var ( L) [ A x:20 ( A x:20 ) ](1
2 2
P

)2
0.73354
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一些有用的关系式
ax Ax =1
1 ax Ax P( Ax ) ax 1 Ax
即
P 1/ 3 0.29633 s
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净保费厘定原则
（2）由原则Ⅱ，有
9
E[ L] 0
(v k 1 PaK 1 ) Pr( K k ) 0
k 0
即
从而 于是
(v k 1 PaK 1 ) 0
k 0
(1) P ( Ax ) (2)Var ( L)
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例5.1答案
解： x 0.04 exp(0.04t ) exp(0.06t )dt 0.4 A
0
a x t t px dt exp(0.04t ) exp(0.06t )dt 10
(1) L v K 1 Px aK 1 , K 0,1,2, Ax ax
(2) E ( L) 0 Ax Px a x 0 Px
2 Px 2 2 Ax ( Ax ) 2 2 (3)Var ( L) (1 ) [ Ax ( Ax ) ] d (da x ) 2
其中，K ( x) 为 ( x ) 的简略未来生命时间长度随机变量， 保额为常数在被 保险人死亡年度末支付。 假设这种保险的年度保费为 P ，在被保险人活着的情况下每年年初支 付。 分别根据以下原则，确定 P ：
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净保费厘定原则
（1） 原则Ⅰ：保险公司亏损的概率不超过 20%； 【百分位保费原则】 （2） 原则Ⅱ：预期的死亡保额等于预期的保费收入； 【等价（平衡）原 则（最常用） 】 （3） 原则Ⅲ：假设保险公司的财富效用函数为 u( x) exp(0.1x) ，保 险公司是否接受风险， 从财富效用方面考虑， 两种选择对保险公司来说是 无区别的。 【指数保费原则】 假设保险公司使用的年度实际利率均为 i 0.06 。
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例5.3

设一个0岁生命的整值剩余寿命服从概率 函数为 1
k
q0
4
k 0,1,2,3

在其死亡年末赔付1单位的保单，每年年 初缴付保费P。当保费按平衡原理决定时， 计算保险人亏损现值的期望值与方差 （i=6%）。
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净保费厘定原则
1、原则Ⅰ：百分位保费原则 2、原则Ⅱ：等价（平衡）原则（最常用) 3、原则Ⅲ：指数保费原则
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净保费厘定原则
例： ( x ) 购买了一份保险，已知
Pr( K ( x) k ) 0.1, k 0,1,...,9
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常见险种的完全连续净均衡保费总结
险种
终身人寿保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P ( Ax： ) Ax： ax： n n n
n年定期寿险
n年两全保险 h年缴费终身人寿保险
P ( Ax： ) Ax： ax： n n n
h
P ( Ax ) Ax ax： h
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例5.2答案
A x:20 t Px x (t )dt e
1 t 0 0 20 20 ( ) t
dt

[1 e 20( ) ]
0.4(1 e 2 ) 0.34587
2
A x:20 2t t Px x (t )dt e (2 ) dt
P 6.478 P 0.3667 d P k 1 P 2 (2)Var ( L) E[(1 )v ] d d 1 P 2 1 P P P 2 (1 ) a4 12.36% 2 (1 ) a4 6% ( ) 0.17788 4 d 4 d d d
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完全离散均衡年度保费确定方法
利用等价原则，同样考虑一般的完全离散人寿保 险，其损失函数为
bK 1vK 1 PY
其中: bK 1和vK 1 分别为前面定义过的保额函数和贴 现因子； 为在每个保单年度初支付的年度保费的 P 一般记号；Y 是相应的离散型年度现在随机变量。
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