材料力学第十章压杆稳定
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dx2
k2 F EI
d2w(x)k2w(x)0 dx2
x
F
解微分方程得到通解为
x
w (x ) C 1sikn x C 2ck ox s
EI
F M(x) C1和C2为待定常数，根据压杆的约束边 界条件来确定，在两端铰支的情况下，
x w w(x) 边界条件为
Oy
y
w(0)w(l)0
O
F
(a)
(b)
则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件*）
l h
b z
y
解：
F
一端固定，一端自由，长度因数 2
在应用欧拉公式时，截面的惯性矩应取 较小的I值。
Iy
hb 3 12
90 43 0m4 m 48 14 0m4 m 12
Izb 13h 2 41 0 92 30 m4m 24 13 40 m4m
k n l
k2 F EI
Fn2π2EI (n0,1,2,......) l2
x F
x
F M(x) EI
x w w(x)
Oy
y
O
F
(a)
(b)
Fn2π2EI (n0,1,2,......) l2
上式表明，使杆件保持为曲线平衡 的压力，理论上是多值的。在这些压力 中，使杆件保持为曲线平衡的最小压力， 才是临界压力。
取n = 1
Fcr
2 EI l2
两端铰支压杆的欧拉公式
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
不同约束形式 压杆的临界力，可 以用类似的方法求 解微分方程导出。
但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l 2l
F
F 一端固定，一端自由，
长为l 的的压杆的挠曲线
两端铰支
＝1.0
一端自由， 一端铰支，
一端固定 一端固定
＝2.0
＝0.7
两端固定
＝0.5
例 10-1
如图所示一细长的矩形截面
F
压杆，一端固定，一端自由。材
料为钢，弹性模量E = 200GPa，
几何尺寸为：l=2.5m b =40mm ，
h=90mm 。试计算此压杆的临界
压力。若b=h=60mm ，长度相等，
第十章 压杆稳定
§10-1 压杆稳定的概念 §10-2 细长压杆的临界力 §10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式 §10-4 提高压杆稳定性的措施
在外力作用下的杆件，当应力达到屈服极限或强度极限时， 将发生塑性变形或断裂，这种破坏是由于强度不足引起的。长 度很小的受压短杆也有相同的现象。
但是在工程中有些构件具有足够的强度和刚度，却不一定 能安全可靠地工作。
压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为 丧失稳 定，简称 失稳。
当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时， 临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际 工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不 稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。
压杆失稳造成的灾难
1907年8月9日,在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的 大铁桥在施工中倒塌.灾变发生在当日收工前15分钟,桥上74人坠河 遇难.原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致.
I y I z 按照 Iy计算临界压力。
l h
b z
y
按照 Iy计算临界压力。
F
Fcr
π 2 EI (l)2
π220010348104 N (2250)20
b z
l h
378603N 7.86kN
y
若 hb6m 0 m IyIzb 13h 26 140 2 m m 101 840 mm
F cr(π 2lE )2 Iπ22(2 0 1 2 0 30 5 1 )20 0 10 8 40 N 8518 85 7.N 19k
稳定性问题。
10-1 压杆稳定的概念
1、稳定平衡和不稳定平衡
稳定平衡
不稳定平衡
2、压杆失稳与临界压力 理想压杆: 材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
F小于某个值
稳定平衡
F大于某个值
不稳定平衡
2、压杆失稳与临界压力
临界状态
稳
对应的
不
Fcr
定 平
过
稳 度定
衡
压力
平 衡
临界压力: Fcr
杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构,屋面采 用预应力密肋网架结构,密肋大梁横截面(600mm×1400mm),屋面 采用现浇板,板厚120mm .2019年2月18日晚19时,当施工到26～28轴 时,支模架失稳坍塌,造成重大伤亡事故。
美国哈特福特城的体育馆网架结构，平面92m×110m,突然于 1978年破坏而落地，破坏起因可能是压杆屈曲。以及1988年加拿 大一停车场的屋盖结构塌落，1985年土耳其某体育场看台屋盖塌 落，这两次事故都和没有设置适当的支撑有关。
10-2 细长压杆的临界力
1、两端铰支的临界力
x F
图示坐标系，考察微弯状态下任意 一段压杆的平衡（图b），杆件横截面上 的弯矩为:
M (x)Fw (x)
x
F M(x) EI
x w w(x)
Oy
y
O
F
wenku.baidu.com
(a)
(b)
根据挠曲线近似微分方程，有
d2w(x) M(x)EI
dx2 取 k2 F
EI d2w(x)k2w(x)0
10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度
将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力
对应的应力为
cr
Fcr A
π2EI
Fcr
π 2 EI l2
一端铰支，一端自由:
Fcr
π 2 EI (2l)2
综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式:
Fcr
π 2 EI
(l)2
上式即为欧拉公式的一般形式。
l为相当长度， 为长度因数，
与压杆两端的支 承情况有关。其 数值为
两端铰支 一端固定一端自由 两端固定 一端固定一端铰支
1 2 0.5 0.7
和两端铰支，长为2l的
压杆的挠曲线的上半部
分相同。则临界压力:
Fcr
π 2 EI (2l)2
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
利用同样的方法得到: 两端固定的压杆的临界压力为:
Fcr
π 2 EI (0.5l ) 2
一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为:
Fcr
π 2 EI (0.7l)2
两端铰支为:
C 20 , C 1sikn l0
x F
EI Oy (a)
x F M(x)
x w w(x) y
O F (b)
w (x ) C 1sikn x C 2ck ox s C 20 , C 1sikn l0
若C1=0，表明杆为直线，这与压杆处于 微弯平衡状态不符。
sinkl0 klnπ (n0,1,2,....)
k2 F EI
d2w(x)k2w(x)0 dx2
x
F
解微分方程得到通解为
x
w (x ) C 1sikn x C 2ck ox s
EI
F M(x) C1和C2为待定常数，根据压杆的约束边 界条件来确定，在两端铰支的情况下，
x w w(x) 边界条件为
Oy
y
w(0)w(l)0
O
F
(a)
(b)
则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件*）
l h
b z
y
解：
F
一端固定，一端自由，长度因数 2
在应用欧拉公式时，截面的惯性矩应取 较小的I值。
Iy
hb 3 12
90 43 0m4 m 48 14 0m4 m 12
Izb 13h 2 41 0 92 30 m4m 24 13 40 m4m
k n l
k2 F EI
Fn2π2EI (n0,1,2,......) l2
x F
x
F M(x) EI
x w w(x)
Oy
y
O
F
(a)
(b)
Fn2π2EI (n0,1,2,......) l2
上式表明，使杆件保持为曲线平衡 的压力，理论上是多值的。在这些压力 中，使杆件保持为曲线平衡的最小压力， 才是临界压力。
取n = 1
Fcr
2 EI l2
两端铰支压杆的欧拉公式
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
不同约束形式 压杆的临界力，可 以用类似的方法求 解微分方程导出。
但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l 2l
F
F 一端固定，一端自由，
长为l 的的压杆的挠曲线
两端铰支
＝1.0
一端自由， 一端铰支，
一端固定 一端固定
＝2.0
＝0.7
两端固定
＝0.5
例 10-1
如图所示一细长的矩形截面
F
压杆，一端固定，一端自由。材
料为钢，弹性模量E = 200GPa，
几何尺寸为：l=2.5m b =40mm ，
h=90mm 。试计算此压杆的临界
压力。若b=h=60mm ，长度相等，
第十章 压杆稳定
§10-1 压杆稳定的概念 §10-2 细长压杆的临界力 §10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式 §10-4 提高压杆稳定性的措施
在外力作用下的杆件，当应力达到屈服极限或强度极限时， 将发生塑性变形或断裂，这种破坏是由于强度不足引起的。长 度很小的受压短杆也有相同的现象。
但是在工程中有些构件具有足够的强度和刚度，却不一定 能安全可靠地工作。
压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为 丧失稳 定，简称 失稳。
当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时， 临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际 工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不 稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。
压杆失稳造成的灾难
1907年8月9日,在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的 大铁桥在施工中倒塌.灾变发生在当日收工前15分钟,桥上74人坠河 遇难.原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致.
I y I z 按照 Iy计算临界压力。
l h
b z
y
按照 Iy计算临界压力。
F
Fcr
π 2 EI (l)2
π220010348104 N (2250)20
b z
l h
378603N 7.86kN
y
若 hb6m 0 m IyIzb 13h 26 140 2 m m 101 840 mm
F cr(π 2lE )2 Iπ22(2 0 1 2 0 30 5 1 )20 0 10 8 40 N 8518 85 7.N 19k
稳定性问题。
10-1 压杆稳定的概念
1、稳定平衡和不稳定平衡
稳定平衡
不稳定平衡
2、压杆失稳与临界压力 理想压杆: 材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
F小于某个值
稳定平衡
F大于某个值
不稳定平衡
2、压杆失稳与临界压力
临界状态
稳
对应的
不
Fcr
定 平
过
稳 度定
衡
压力
平 衡
临界压力: Fcr
杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构,屋面采 用预应力密肋网架结构,密肋大梁横截面(600mm×1400mm),屋面 采用现浇板,板厚120mm .2019年2月18日晚19时,当施工到26～28轴 时,支模架失稳坍塌,造成重大伤亡事故。
美国哈特福特城的体育馆网架结构，平面92m×110m,突然于 1978年破坏而落地，破坏起因可能是压杆屈曲。以及1988年加拿 大一停车场的屋盖结构塌落，1985年土耳其某体育场看台屋盖塌 落，这两次事故都和没有设置适当的支撑有关。
10-2 细长压杆的临界力
1、两端铰支的临界力
x F
图示坐标系，考察微弯状态下任意 一段压杆的平衡（图b），杆件横截面上 的弯矩为:
M (x)Fw (x)
x
F M(x) EI
x w w(x)
Oy
y
O
F
wenku.baidu.com
(a)
(b)
根据挠曲线近似微分方程，有
d2w(x) M(x)EI
dx2 取 k2 F
EI d2w(x)k2w(x)0
10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度
将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力
对应的应力为
cr
Fcr A
π2EI
Fcr
π 2 EI l2
一端铰支，一端自由:
Fcr
π 2 EI (2l)2
综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式:
Fcr
π 2 EI
(l)2
上式即为欧拉公式的一般形式。
l为相当长度， 为长度因数，
与压杆两端的支 承情况有关。其 数值为
两端铰支 一端固定一端自由 两端固定 一端固定一端铰支
1 2 0.5 0.7
和两端铰支，长为2l的
压杆的挠曲线的上半部
分相同。则临界压力:
Fcr
π 2 EI (2l)2
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
利用同样的方法得到: 两端固定的压杆的临界压力为:
Fcr
π 2 EI (0.5l ) 2
一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为:
Fcr
π 2 EI (0.7l)2
两端铰支为:
C 20 , C 1sikn l0
x F
EI Oy (a)
x F M(x)
x w w(x) y
O F (b)
w (x ) C 1sikn x C 2ck ox s C 20 , C 1sikn l0
若C1=0，表明杆为直线，这与压杆处于 微弯平衡状态不符。
sinkl0 klnπ (n0,1,2,....)