全微分重要例题ppt课件

证明: x2 y2 2 | xy |
x2 y2 (x2 y2 )3/2
|
xy
|
(
| x2
xy | y2
)3/ 2
| xy | (1/ 2)3/2
lim f (x, y) 0 f (0,0),即f (x, y)在(0,0)点连续. ( x, y)(0,0)
又由偏导数的定义可得,在点(0,0) 处有
4) 下面证明 f (x, y) 在点 (0,0)可微 :
令 (x)2 (y)2 , 则
f f x (0,0)x f y (0,0)y
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
f
y
(
x,
y)y
，
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量；
z
（4）
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
(x)2 (y)2
y)y
,
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
习P75-4
设f
(x,
y)
(
x
2
x2
y2 y2 )3/2
,
பைடு நூலகம்
x2 y2 0
0 ,
x2 y2 0
证明在点(0,0)处连续且偏导数存在, 但不可微.
证: 1) 因
xy sin
1 x2 y2
xy
x2 y2 2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
2) f (x,0) 0, fx (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0.
3) 当(x, y) (0,0)时,
fx (x, y)
k)2
说明它不能随着 0而趋于 0, 当 0 时，
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
函数在点(0,0) 处不可微.
备用题. 选择题
函数 z f (x, y)在 (x0, y0 ) 可微的充分条件是( D ) ( A) f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 连续 ; (B) fx(x, y), f y (x, y) 在 (x0 , y0 )的某邻域内存在 ; (C) z fx(x, y)x f y (x, y)y
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
如果考虑点P(x, y)沿着直线y x 趋近于(0,0) ，
x y
则
(x)2 (y)2
x x (x)2 (x)2
1, 2
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，要看 z dz ? 0
P69 例2.26
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
思考题
函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处可微的充分条件是:
（1） f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续；
（2）
f
x
(
x
,
y
)
、
f
y
(
x
,
y
)在点(
x0
,
y0
)
的
某邻域存在；
（3）z
f
x
(
x,
y)x
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 ; (D) z f x(x, y)x f y (x, y)y
(x)2 (y)2
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 .
备用题
证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
例如，
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点(0,0)处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
f x (0,0) f y (0,0) 0
z dz z [ fx (0,0) x f y (0,0) y]
x 2 [(x)2
y2 (y)2
]3/ 2
,
z dz
x2 y2 [(x)2 (y)2 ]3/2
x2 y2
[(x)2 (y)2 ]2 令y kx
/ 0
k (1
2
sin
1 x2 y2
x2 y (x2 y2)3
(x,
lim
x )(0,0)
fx (x,
y)
lim( x sin 1
x0
2|x| 2
x 3 cos 2 | x |3
1) 2|x|
极限不存在 , fx (x, y) 在点(0,0)不连续 ; 同理 , f y (x, y) 在点(0,0)也不连续.