第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数

(4)常点邻域级数解基本方法
由于函数p(x),q(x)和y(x)在圆环域|x-x0|<R内解析，所以 我们：
①展开p(x),q(x)和y(x)为泰勒级数，
p(x) an (x x0 )n , q(x) bn (x x0 )n , y(x) cn (x x0 )n
n0
n0
n0
其中an,bn(n=0,1,2,…)是已知的，c0和c1由附加条件给出，而 cn(n=2,3,4…)待定。
系数 p(x)和q(x)的解析性
5
设 p(x)和q(x)在一定的区域中，除若干个孤立奇点外，
是 z 的单值解析函数。
区域中的点可分为两类：
（i）方程的常点：如果 p(x)和q(x)都在点 x0的邻域解析， 则 x0称为方程的常点。
（ii）方程的奇点：只要两系数 p(x)和q(x)之一在点 x0不解析， x0就称为方程的奇点。
② p(x),q(x)和y(x)的泰勒级数展开代入微分方程（8.1）式得
cnnn 1(x x0 )n2
akcnn(x x0 )nk1
n2
k 0 n1
bkcn (x x0 )nk 0
k0 n0
cnnn 1(x x0)n2
akcnn(x x0 )nk1
bkcn (x x0 )nk 0
再取c1值达到 y(1)=c1y1(1)=1
通过繁复计算得出
c1
1n
(2n 1)!! (2n)!!
由此确定的多项式称2n+1阶勒让德多项式并记为y(x)= c1y1(x)
= P2n+1(x)，具体表达式为：
P2n1
x
1n
(2n 1)!! (2n)!!
n!n 1! 2n 2!
n
m0
1m
2m
2n 2m 2! 1!n m 1!n
夏尔·厄米 夏尔·厄米，法国数学家，巴黎 综合工科学校毕业，曾任法兰 西学院、巴黎高等师范学校、 巴黎大学教授。他的研究领域 包括数论，二次型，不变量理 论，正交多项式，椭圆函数和 代数。厄米多项式、厄米规范 形式、厄米算子、厄米矩阵， 和立方厄米样条都以他命名。 生于： 1822 年 12 月 24 日, 法国迪耶于兹 逝于： 1901 年 1 月 14 日, 法 国巴黎
22n
k
!
4n
2n
k
2k
!
!
2n
2k
x !
2n
2k
k nm
或记
Pl
x
l/2
1k
k 0
2l
2l 2k ! k!l k!l
xl2k
2k !
特例
P0 x 1,
P2
x
1 2
3x2 1
,
同理，奇函数系数的递推关系：
c2n3
(2n 1 l)(2n l
2n 2(2n 3)
2)
c2n1
n
k0
1k
2k
2n 2k! !n k!n
k
!
x2k
由条件:c1=0时,在x=1处, y(1)=c0y0(1)=1,确定c0 现在,y(x)=c0y0(x)是2n次多项式。
通过繁复计算得出
c0
1n
(2n 1)!! (2n)!!
(2n)!! 2n2n 22n 4 6 4 2 其中 (2n 1)!! 2n 12n 32n 5 531
lim
n
n
ln
l
1
1
所以 l 阶勒让德的级数解在单位圆|x|<1内收敛。 在单位圆外如何？下面我们用高斯判别法来判定。
13
级数收敛高斯判别法：
c2n2
(2n l)(2n (2n 2)(2n
l 1) 1)
c2n
设有级数
un
n 1
，如果（至少当
n
充分大时）
un un1
1
n
O
1 n
，
则当 1时， un 收敛；而当 1时，
c2k 4
2k 2 l (2k 4 l) l (l 1) l 2k 1
2k !
c0
2k 1 l (2k 3 l) 1 l (l 2) l 2k
2k 1!
c1 12
cn2
n(n 1) l(l 1) (n 2)(n 1)
cn
(n l)(n l 1) (n 2)(n 1)
cn
n2
k 0 n1
k0 n0
整理得（先设k+2=n,然后再令k=n)
cn2 n 2n 1(x x0 )n
akcn1 n 1 (x x0 )nk
n0
k0 n0
bkcn (x x0 )nk 0
k0 n0
③比较等式两边同幂次系数求cn(n=0,1,2,…)
a.(x-x0)0项:(k=0,n=0)有
1
1 2n
1
l 2n
1
1 n
1
l 1 2n
1
l 1 2n
1
l 2n
1
1 2n
1
1 n
1
1 n
O
1 n
,
即 1，得出 y0(1) 发散。也就是说勒让德的级数在 x 1处发散。
但是，如果解是多项式，因为只有有限项，所以发散14问 题不存在了.
（2）勒让德多项式 考察偶函数系数的递推关系：
④必须确定幂级数的收敛圆，级数解只在收敛圆内部才 4
有意义。
（2）方程的常点和奇点 ①二阶线性齐次常微分方程的标准形式：
y(x) p(x) y(x) q(x) y(x) 0 （8.1）
其中： y( x) —未知的复变函数， p( x) 、q( x)—方程的已知
的复变函数系数。注：这里 x 代表复数！！ ②要求解的问题：在一定条件下（如初值条件
展开第一项
n2
n1
n0
n(n 1)cn xn2 n(n 1)cn xn 2 ncn xn l(l 1) cn xn 0
n2
n0
n0
n0
整理得
n(n 1)cn xn2 n(n 1)cn xn 2ncn xn l(l 1)cn xn 0
n2
n0
改写上式第一项,即令k=n-2
un 发散。
n1
n1
由于解 yx c0 y0 x c1y1 x 中只要有一项是发散的则解是发散的，所
以下面仅讨论中 y0 (1) 的敛散性。
对于 y0(1) 的勒让德的级数，un 即在 x 1处的递推系数 c2n .由递推关系
lim u2n u n
2n2
2n 1 2n l l
2n 2n
2 1
（1）l阶勒让德方程
(1 x2 ) y '' 2xy ' l(l 1) y 0
①化为标准形式：
2x l(l 1)
y ''
y '
y0
1 x2 1 x2
标准方程系数:
p(x)
2x 1 x2
2x
1 x1
x ,
②方程奇点与x=0点的奇常性分析:
l(l 1) q(x)
1 x2
点x=x0=±1是方程的奇点,即一阶极点. 在x0=0点：p(x0)=0, q(x0)=l(l+1),即点x0=0是常点。
(k 2)(k 1)ck2 xk n(n 1)cn xn 2ncn xn l(l 1)cn xn 0
k 0
n0
进一步写上式第一项,即再令n=k
n 2(n 1)cn2 xn n(n 1)cn xn l(l 1)cn xn 0
n0
n0
比较同幂x前的系数有
整理得
cn2(n 2)(n 1) n(n 1) l(l 1)cn 0
2k
P1 x x,
P3
x
1 2
5x3 3x
,
Pl 1 1l 2n或2n 1
x2m1
m!
1n
22n1
n
1m
m0
2m
2n 2m 2! 1!n m 1!n
x2m1
m!
n
1k
k 0
4n 2 2k ! 22n1k !2n 1 k !2n 1
x2n2k
2k !
k nm
或记 例
Pl
x
l 1/ 2
1k
k 0
2l
k
2l !l
2k ! k!l
2k
!xl
这样 l 阶勒让德方程的级数解是：
y x c0 y0 x c1y1 x;
y0
x
1
2k
2
l
2k
4
l
k 1
l l 1l 3 2k !
l 2k 1x2k ,
y1
x
x
k 1
2k
1
l
2k
3
l
1 l l 2k 1!
2l
4
l 2k x2k1.
幂级数解的收敛半径
R lim cn c n
n2
n 2n 1
cn2
(n l)(n (n 2)(n
l 1) 1)
cn
设n=2k-1:
2k 2 l (l 2k 1)
c2k
2k 2k 1
c2k 2
2k 1 l (l 2k)
c2k1
2k 1 2k
c2k 1
2k 2 l 2k 4 l (l 2k 3)(l 2k 1)
2k 2k 12k 22k 3
2c2 a0c1 b0c0
0
c2
1 2
a0
c1
b0c0
b.(x-x0)1项
3 2c3 a1 c1 a0 2c2 b0c1 b1c0 0
c3
1 23
a1 b0 a02
c1 b1 a0b0 c0
④确定收敛半径,即泰勒级数收敛圆。
2. 勒让德方程
求l阶勒让德方程在x=0的邻域内的级数解
例 8.1 超几何方程
x x 1 y x 1 y x y x 0
的系数是
p
x
1 xx
1
,
q
x
x
x 1
6
在有限远处， p(x)和q(x)有两个奇点：x=0 和 x=1. 所以，除了 x=0 和 x=1 是超几何方程的奇点外，有限远处 的其他点都是方程的常点。
如果 x0最多是 p(x)的一阶极点、q(x)的二阶极点，则 x0称 为方程的正则奇点。否则，则 x0称为方程的非正则奇点。
§8.1 常点领域方程的级数解 勒让德方程
• 教学目的： 1、了解常点领域二阶常微分方程级
•
数解法；
•
2、掌握勒让德方程的级数解法和勒
•
让德多项式的性质。
• 教学重点：勒让德方程二阶常微分方程级数解法。
• 教学难点：二阶常微分方程级数解基本方法
8.1 常点邻域方程的级数解 勒让德方程 1.常点邻域线性常微分方程的级数解
③设解y(x)为一泰勒级数
y( x) cn xn , y '(x) ncn xn1,
n0
n1
y ''( x) n(n 1)cn xn2
n2
10
代入勒让德方程
(1 x2 ) y '' 2xy ' l(l 1) y 0
(1 x2 ) n(n 1)cn xn2 2x ncn xn1 l(l 1) cn xn 0
（1）级数解法的基本思想： 把方程的解表示为以 x0为中心、带有待定系数的幂级 数，将这个幂级数代入方程及定解条件，求出所有待定系
数即说可明得：该方程的解。
①级数解法是一个普遍的方法，对方程无特殊的要求。 ②对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。
③用级数解法要选定某个点 x0作展开中心，得到的解是 以 x0为中心的幂级数。
由此确定的多项式称2n阶勒让德多项式并记为y(x)=
c0y0(x)= P2n(x)，具体表达式为：
P2n
x
1n
(2n 1)!! (2n)!!
n !2 2n!
n
m0
1m
2n 2m! 2m!n m!n
m
x !
2
m
1n
22n
n
1m
m0
2n 2m! 2m!n m!n
m
x !
2m
n
1k
k 0
cn2
n(n 1) l(l 1) (n 2)(n 1)
cn
(n l)(n l 1) (n 2)(n 1)
cn
递推公式11
④找出cn与初始条件c0和 c1间关系
由于c0的下标对应于偶数， c1的下标对应于奇数，为此 我们令递推公式中的下标n分别取n=2k-2和n=2k-1与它们对
应，即 设n=2k-2:
y(x0 ) c0, y(x0) c1) 满 足 y(x) p(x) y(x) q(x) y(x) 0 （8.1）的 y(x) w(x)。
③方程的系数 p(x)和q(x)的解析性确定了方程（8.1）的
解的性质（解的存在性、唯一性、稳定性、单值性等）。
而方程解的性质不同，所采用的解法不同，为此需分析
由系数的递推关系可知： 当2n+1=l时， c2n+2=0,级数退化 为2n+1次多项式.
y1
x
1
n
2k
2
2n
2k
4
2n
k 1
2n2n 12n 3 2k 1!
2n 2k 1x2k1
n 2n
1!n! 2!
n
k 0
1k
2k
2n 2k 2! 1!n k 1!n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
!
x2k
1
确定c1 取c0=0，则y(x)=c1y1(x)是2n+1次多项式。
(3)解的存在和唯一性定理（不证明）
设函数 p(x)和q(x)在圆域 x x0 R内是解析的，则在此
圆域内方程
y(x) p(x) y(x) q(x) y(x) 0
存在唯一的满足初始条件 y(x0 ) c0, y(x0 ) c1（c0,c1是任
意常数）的解析函数解。
7
y(x) p(x) y(x) q(x) y(x) 0
y x c0 y0 x c1y1 x
c2n2
(2n l)(2n (2n 2)(2n
l 1) 1)
c2n
由系数的递推关系可知： 当2n=l时，c2n+2=0, 级数退化为
2n次多项式.
y0
x
1
n
2k
2
2n
2k
4
2n
k 1
2n2n 12n 3 2k !
2n 2k 1x2k
n!2 2n!