0-1背包问题求解方法综述

算法分析与设计大作业…

实验题目：0-1背包问题求解方法综述

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0-1背包问题求解方法综述

【摘要】：0-1背包问题是一个经典的NP-hard组合优化问题，现实生

活中的很多问题都可以以它为模型。本文首先对背包问题做了阐述，

然后用蛮力解法、动态规划算法、贪心算法和回溯解法对背包问题进

行求解，分析了0-1背包问题的数学模型,刻划了最优解的结构特征,

建立了求最优值的递归关系式。最后对四种算法从不同角度进行了对

比和总结。

【关键词】：0-1背包问题；蛮力解法；动态规划算法；贪心算法；回溯解法。

0.引言

0-1背包问题是指给定n个物品,每个物品均有自己的价值vi和重量wi(i=1,2,…,n),

再给定一个背包,其容量为W。要求从n个物品中选出一部分物品装入背包,这部

分物品的重量之和不超过背包的容量,且价值之和最大。单个物品要么装入,要么

不装入。很多问题都可以抽象成该问题模型,如配载问题、物资调运[1]问题等,因

此研究该问题具有较高的实际应用价值。目前,解决0-1背包问题的方法有很多,

主要有动态规划法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算

法、蚁群算法、模拟退火算法、蜂群算法、禁忌搜索算法等。其中动态规划、回

溯法、分支限界法时间复杂性比较高,计算智能算法可能出现局部收敛,不一定能

找出问题的最优解。文中在动态规划法的基础上进行了改进,提出一种求解0-1

背包问题的算法,该算法每一次执行总能得到问题的最优解,是确定性算法,算法

的时间复杂性最坏可能为O(2n)。

背包问题描述

0-1背包问题(KP01)是一个著名的组合优化问题。它应用在许多实际领域,如

项目选择、资源分布、投资决策等。背包问题得名于如何选择最合适的物品放置

于给定背包中。本文主要研究背包问题中最基础的0/1背包问题的一些解决方法。

为解决背包问题，大量学者在过去的几十年中提出了很多解决方法。解决背

包问题的算法有最优算法和启发式算法[2]，最优算法包括穷举法、动态规划法、

分支定界法、图论法等，启发式算法包括贪心算法、遗传算法、蚁群算法、粒子

算法等一些智能算法。

(

0-1背包问题一般描述为：给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是w(i)，其价值为v(i)，背包的容量为c 。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大

在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i 装入背包多次，也不能只装入部分的物品i 。因此，该问题称为0-1背包问题。

此问题的形式化描述是，给定n i v w c i i ≤≤>>>1000，，，，要求找出一个n

元0-1向量n i x x x x i n ≤≤∈1}1,0{21，），，，，（ ，使得c

x w i i i ≤∑=n

1

，而且i

n

i i x v ∑=1

达到最大。

数学模型：∑=n

i i i x v 1max

约束条件：

c x w i i i ≤∑=n

1

， n i x i

≤≤∈1},1,0{

背包问题的求解算法

蛮力算法（brute force method ） 基本思想：

对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。 代码实现: 。

#include #include using namespace std; #define N 100 <=C){

for (int k=0;k

￥

} int

sum1=KnapSack1(n,a,C,X);

i v i w i v i w i r i v i

w

时，在步骤（3）中计算最优解时，通常需记录更多的信息，以便在步骤（4）中，根据所记录的信息，快速构造出一个最优解。

使用动态规划求解问题，最重要的就是确定动态规划3要素：（1）问题的阶段；（2）每个阶段的状态；（3）从前一个阶段转化后一个阶段之间的递推关系[4]。

分析最优解的性质，刻画最优解的结构特征——最优子结构性质分析

设），，，（n x x x 21所给0-1背包问题的一个最优解，则），，（n x x x 32是下面相应子问题的一个最优解： 目标函数：i

n

i i x v ∑=2

max

约束条件：

)2}(1,0{,112

n i x x w c x

w i n

i i

i ≤≤∈-≤∑=

证明：若），，（n x x x 32不是上述子问题的一个最优解，而），，，（n 32y y y 是他的最优解。由此可知，i i i n i i x v y v ∑∑>=n

2

且c y w x w i n

i i ≤+∑=2

11。因此

c

y w x w x v y v x v i n

i i i

n

i i n i i ≤+>+∑∑∑===2

111

1211

、

这说明），，，（n y y x 21是原问题的一个更优解，从而），，，（n y y y 21不是所给原问题的最优解，产生矛盾。

所以），，（n x x x 32是上述子问题的一个最优解。 递归关系

由于0-1背包问题的解是用向量），，，（n x x x 21来描述的。因此，该问题可以看做是决策一个n 元0-1向量），，，（n x x x 21。对于任意一个分量i x 的决策是“决定i x =1或i x =0，i=1,2,…,n 。对1-i x 决策后，序列)(121-i x x x ，，， 已被确定，在决策i x 时，问题处于下列两个状态之一：

（1）背包容量不足以装下物品i ，则=0，装入背包的价值不增加； （2）背包容量足以装入物品i,则=1，装入背包的价值增加i v 。 在这种情况下，装入背包的价值最大化应该是对决策后的价值。 设所给0-1背包问题的子问题

n

k i x j x

w x v k k

n

i

k k

n

i

k k

k ≤≤∈≤∑∑==，，)1,0(max

的最优值为m(i,j),即m(i,j)是背包容量为j ，可选择的物品为i,i+1,…,n 时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m （i,j ）的递归式为： —