10.7斯托克斯公式和旋度

2
平面有向曲线


P z
dzdx

P y
dxdy


P
(
x
,
y
,
z
)dx,
空间有向曲线
同理可证


Q x
dxdy

Q z
dydz


Q(
x
,
y,
z
)dy,


R y
dydz

R x
dzdx


R(
x,
y,
z
)dz,
R Q
P R
Q P


(
y

z
r )k
y Z z x x y
并注意到R在给定点M是一个固定的向量，从而M处沿
nr 0 (cos, cos , cos ) 方向的环量面密度可以写成：
n Rr gnr 0 || R || cos(R·r , nr 0 )
在给定点M处，R在任一方向上的投影，给出该方向上的环量面
(
y

z)d
x

(z

x)
d
y

(x

y) d
z
解: 令 P y z , Q z x , R x y
P 1 Q , y x
Q 1 R , R 1 P z y x y
积分与路径无关, 因此
z
y
z
x d y (x y) d z o
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x y z 3 2
的上侧被 所围成的部分.
则 n 1 {1,1,1} 3
z
n

o
x
y
即 cos cos cos 1 ,
3
1
1
1
3
3
3

I
相交不多于一点, Σ取上

侧,有向曲线 C 为Σ的正向
边界曲线 在 xoy的投影.
且所围区域 Dxy.
x
o
Dxy C
y
思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2
Q


P z
dzdx

P y
dxdy



(
P z
cos


P y
cos

)dS
又 cos f y cos , 代入上式得
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
P d x Q d y R d z 0 (2) 对G内任一分段光滑曲线 , P d x Q d y R d z
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
cos
y Q
cos
z

lim
S M
r
ÑL A
S
dsr
R
显然环量面密度为一个与方向有关的数量
环量面密度公式与数量场在一点处沿某方向的方向导数类似；
r 不妨将计算公式中的三个数看作某个向量 R 的三个坐标，
r R

(
R

Q
r )i

(
P

R
)
r j

( Q

P
)dydz

( z

)dzdx x
( x

)dxdy y
Pdx Qdy Rdz .. 故有结论成立.

情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕


P z
dzdx
P y
dxdy


(
P y

P z
f y ) cos dS
即


P z
dzdx

P y
dxdy




(
P y

P z
f y )dxdy
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y

P z

源自文库
fy


P z
dzdx
则斯托克斯公式可写为
(P cos Q cos R cos ) d s
令 A (P, Q, R), 引进一个向量
记作 rot A
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
i jk

x
y
z
PQR
rot A n d S A d s 或 (rot A)n d S A d s 定义: P d x Q d y R d z A d s称为向量场A
x
y
z

x0 P(x, y0 , z0 )dx
y0 Q(x, y, z0 )dy
R(x, y, z)dz
z0
例4. 验证曲线积分 ( y z) d x (z x) d y (x y)dz
与路径无关, 并求函数
u(x,
y,
z)

(x,y,z) (0,0,0)
0
0
xy (x y)z
(x,0,0)
x
xy yz zx
(x, y, z)
y
(x, y,0)
例5
r rr r
设力场为 F Pi Qj Rk . P yz(2x y z),
Q xz(x 2y z), R xy(x y 2z)
证明：该力场为保守力场，并求场对质点M沿任何一 路径L从点 A(x0, y0, z0 ) 到点 B(x, y, z) 所作的功W 解：P Q (2xz 2 yz z2 ) (2xz 2 yz z2 ) 0
y x
R P (2xy 2 yz z2 ) (2xy 2 yz z2 ) 0 x z
Q R (2xy 2xz x2 ) (2xy 2xz x2 ) 0
z y
rr
Ñ 从而沿任何必路L所作的功为零，即 F gdS 0 L
[(R y

Q ) cos
Z
(P z

R ) cos
x
(Q x

P y
)
cos

]
|
M
*
S
(R Q ) cos (P R ) cos (Q P ) cos
y Z
z x
x y
cos
x P
o
1y
1
x
Dxy
d y d z d z d x d x d y 3
dxd y 3

利用对称性Dx y
2
例2 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
其中是平面 x y z 3截立方体:0 x 1, 2
x
y2 z2
y z2 x2
dS z x2 y2
x y3
Dxy
2
x y1 2

4 3


(x

y

z)dS
( 在上x y z 3) 2

43
3

2


dS
2
3
Dxy
3dxdy 9
2
例3. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
(4) 在G内处处有
P y

Q x
,
Q z

R y
,
R x

P z
证: (4) (1) 由斯托克斯公式可知结论成立;
(1) (2) (自证)
(2) (3) 设函数
u(x, y, z) (x, y,z) P d x Q d y R d z (x0 , y0 ,z0 )
对(3) 在G中存在函数 U (x, y, z) ，使得曲线积分
ÑL Pdx Qdy Rdz 中的被积分式为 U (x, y, z)
的全微分，即：dU Pdx Qdy Rdz
并且有 U (x, y, z) (x,y,z) Pdx Qdy Rdz ( x0 , y0 ,z0 )
具有一阶连续偏导数, 则有公式


(R y

Q z
)dydz

(
P z

R x
)dzdx

(Q x

P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则

是有向曲面 的

正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于 z 轴的直线
z
n :z f ( x, y)
(当Σ是 xoy 面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y

x
y
z
z
x
y
沿有向闭曲线 的环流量.向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 . 向量场A的环量表示质点在A作用下沿闭合曲线的旋转情况
Ñ 环量面密度：P104定义10.7
r A

dsr
L
lim SM S
利用斯托克斯公式和第一类曲面积分的中值定理可得
环量面密度在直角坐标系中的计算公式：
蜒 Ar dsr Pdx Qdy Rdz
则
u x

lim u(xx, y,z)u(x, y,z)
x0
x
lim 1 (xx, y,z) P d x Q d y R d z
x0 x (x, y,z)

lim
x0
1 x
xxx
P
d
x

lim
x0
p(x

x,
y,
z)
P(x, y, z)
从而证明其为保守力场，此力场所作的功W只与始点
和终点有关，而与路径无关，因此有 rr
W »AB FgdS
(x,y,z)

yz(2x y z)dx xz(x 2y z)dy xy(x y 2z)dz
( x0 , y0 ,z0 )
x
y
z

x0 y0z0 (2x y0 z0 )dx
同理可证
故有
du PdxQd y Rdz
(3) (4) 若(3)成立, 则必有
u P, u Q, u R
x
y
z
因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有
P 2u Q y x y x
同理
Q R , R P
证毕
z y x z
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy



x
y
z Pdx Qdy Rdz
PQ R
另一种形式
cos cos cos



x
y
z
dS Ñ Pdx Qdy Rdz
PQR
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
第七节、斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、 环流量与旋度 四、向量微分算子
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在包含曲面在内的一个空间区域内
y0 xz0 (x 2y z0 )dy
xy(x y 2z)dz
z0
x2 yz xy2z xyz2 (x02 y0z0 x0 y02z0 x0 y0z02 )
三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
P d x Q d y R d z
设曲面 的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )

P y
dxdy



Dxy
P[ x, y
y,
f
(
x,
y)]dxdy
,
1
根椐格林公式


P[ x, y, f ( x, y)]dxdy P[ x, y, f ( x, y)]dx
Dxy y
c
即


P z
dzdx

P y
dxdy

cP[
x,
y,
f
(
x,
y)]dx
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I


x y
y2 xy
z
dS
xz

o x
2y
0
二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P,Q, R 在G内


R Q
P R
Q P
( )dydz ( )dzdx ( )dxdy
VS y Z
z x
x y
[(R Q) cos (P R) cos (Q P) cos ]dS
VS y Z
z x
x y