双曲线的图像与性质

离心率:
e c a
5 4
渐近线方程:
x 3 y,即
4
y 4x 3
练习题1:填表
标 准 方 x 2 8 y 2 32 程
2a
2Байду номын сангаас 范围
顶点 焦点
离心率 渐进线
4
|x|≥
4 2,0
6,0
e3 2 2
y 2x 4
42
82
9x2 y 2 81 x2 y2 4
F1
B2
A1 o
B1
X
A2 F’2
证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)
它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’),
F2
∵ c a2 b2 c a2 b2 ∴ c=c'
所以四个焦点F1,F2,F1,F2在同一个园 x 2 y 2 a 2 b2上.
双曲线性质：
1、 范围： x≥a 或 x a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程：
x y 0 ab
6、离心率： e= c
a
Y
B2
X
A2
B1
双曲线图像(2)
Y
F2
标准方程
范围
A2
对称性
顶点
焦点
(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个园上. Y
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1 渐近线为
x y 0 ab
则它的共轭双曲线方程是:
y2 b2

x2 a2
1 渐近线为:
yx ba
0
显然,它可化为
x y 0 ab
F’1
故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线
ab
6、离心率： e=c/a
Y
F2 B2
o
B1
F2
A2 X
例题1:求双曲线 9x2 16 y2 144 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 x2 1 42 32
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5)
6
4
18
4
|x|≥3 (±3,0)
3 10 ,0
e 10
y=±3x
|y|≥2 (0,±2)
0,2 2
e 2
x y
x 2 y 2 1 49 25
10 14
|y|≥5
(0,±5)
0, 74
e 74 5
x7 y 5
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;
B1
O
对称轴
离心率
A1
渐进线
F1
y2 a2

x2 b2
1
B2
X
双曲线的图像与性质(2)
•
双曲线标准方程：
y2
x2
1
a2 b2
双曲线性质：
1、 范围： y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。 A1
3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a）
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 5、渐近线方程： x y 0
问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
二、填空题
二、填空题
二、填空题:
二、填空题:
双曲线的性质
• 课程安排: • 1、回忆椭圆的性质 • 2、观察图形推导双曲线的性质 • 3、应用举例与练习
四川江油中学唐秋明制作
标准 方程
x2 y2 1
a2 b2
范 围 |x|a,|y|≤b
对称性 关于X,Y轴, 原点对称
顶点 (±a,0),(0,±b)
焦 点 (±c,0)
对称轴 A1A2 ; B1B2
离心率
e=
c a
准 线 x = a2
c
椭圆的图像与性质
Y
B2
A1
F1
o
A2
F2
X
x= - a2/c
B1
x=a2/c
双曲线图像(1)
标准方程
范围 对称性
顶点 焦点
对称轴 离心率 渐进线
F1
A1
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
A2 F2 X
B1
双曲线的图像与性质(1)
• 双曲线标准方程： x 2 y 2 1 a2 b2
双曲线性质：
1、 范围： x≥a或x≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程：
x y 0 ab
6、离心率： e= c
a
Y
B2
X
A2
B1
双曲线的图像与性质(1)
• 双曲线标准方程： x 2 y 2 1 a2 b2