第四章：电磁感应与电磁场

o' en B
N NBS cost d E NBS sin t
dt
令 E NBS m
则 E E sin t m
ω o
i
R
E E sin t m
Em i sin t I m sin t R
N

o' en B
交流电
ω o
i
R
E o' i
..
二
感生电动势
产生感生电动势的
非静电场
感生电场
麦克斯韦假设 变化的磁场在其周围空间 激发一种电场——感生电场 Ek .
闭合回路中的感生电动势
dΦ E i E k dl L dt
Ei
B
dB / dt 0
Φ B ds
d L Ek dl dt SB ds S dB E i Ek dl ds L S dt
感生电场和静电场的对比
感生电场
非保守场 dΦ L Ek dl dt 0 由变化的磁场产生
静电场
保守场 E静 dl 0
L
由电荷产生
三
电子感应加速器
环形真空室
××××× ×××××
····· ·····
………………………
……………………… O R 电子轨道
S
l
E
（4）自感的应用 稳流 ，LC 谐振电路 滤波电路，感应圈等
例 2 有两个同轴圆筒形导体，其半径分 别为 R1 和 R2 ，通过它们的电流均为 I ， 但电流的流向相反. 设在 R1 两圆筒间充满磁导率为 的均匀磁介质， I r I l L. 求其自感
R2
2 πr 如图在两圆筒间取一 长为 l 的面 PQRS ，并将 其分成许多小面元. I 则 dΦ B dS Bldr
E R rBdr i
R2 1
o
.
B
1 2 B ( R12 R2 ) 2
B
M
E o' i
..
圆盘边缘的电势高于 中心转轴的电势.
（方法二） 取一虚拟的闭合回路 MNOM 2R2 并取其绕向与 B相同 .

则
R1
o
M B

.
N'
d
N
B
Φ B

2π
π (R R )
解 如图建立坐标 棒中 E Blv 且由 M N i 2 2 B l v F IBl 方向沿ox 轴反向 R 2 2 dv B l v N m dt R B 2 2 R l v dv t B l dt F I v 则 v0 0 mR v
v v0e
( B 2l 2 mR ) t
一
电磁感应现象
二
电磁感应定律
当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生 变化时，回路中会产生感应电动势，且感应 电动势正比于磁通量对时间变化率的负值.
dΦ E i k dt
国际单位制
E i
Φ
伏特 韦伯
k 1
（1）闭合回路由 N 匝密绕线圈组成 d E i dt 磁通匝数（磁链） NΦ （2）若闭合回路的电阻为 R ，感应电流为 1 dΦ Ii R dt t2 1 Φ2 1 q Idt dΦ (Φ Φ2 ) 1 Φ t1 R 1 R
o
M
x
例 3 圆盘发电机 ，一半径为R1的铜 薄圆盘，以角速率 ，绕通过盘心垂直的 金属轴 O转动 ，轴的半径为R2，圆盘放在 磁感强度为 B 的均匀磁场中，B 的方向亦 与盘面垂直. 有两个集电刷a，b分别与圆盘 的边缘和转轴相连. 试计算它们之间的电势 差，并指出何处的电势较高.
解 （方法一） 因为 d R1 ，所以不
dI E L L dt
I
dI dt
B
自感 L EL
（3）自感的计算方法 例1 如图的长直密绕螺线管，已知 求其自感 L （忽略边缘效应）. l，S，N，， 解 先设电流 I 得H B 根据安培环路定理求
Φ
L
nN l
B H nI
S
l
E
NΦ NBS
N NΦ NBS N IS l 2 N 2 L n V L S V lS I l dI E （一般情况可用下式测量自感） L L dt
N
F
v
S
用 楞 次 定 律 判 断 感 应 电 流 方 向
B
B
I
S N
v
N S
I
v
楞次定律是能量守恒定律的一种表现 例如 机械能
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
焦耳热
× × × × ×
维持滑杆运 × × × B 动必须外加一力， × × × 此过程为外力克 × Fm × ×
服安培力做功转 化为焦耳热.
OP
++ Fe× ×
× ×
B
× v×
×
×
OP
E i

OP
E k dl

OP
(v B ) dl
×
设杆长为 l
× ×
++ Fe× ×
× Fm - × - × ×
×P
×
× ×
B
E vBdl vBl i
0
l
×
× v×
×
×
× O ×
例1 一长为 L 的铜棒在磁感强度为 B 的均匀磁场中，以角速度 在与磁场方向 垂直的平面上绕棒的一端 × × × × × P 转动，求铜棒两端的 d × × × l× × 感应电动势. × × × × × B × O × v × × × 解 根据楞次定律，判 × × × × × 断感应电动势的方向
解 两圆筒之间 B
I
R1 Q
R
I r
P
l
S
dr
Φ dΦ
R2
I
2π r
ldr
R2
R1
Φ dΦ
R2
I
2π r
ldr
R2 Φ ln 2π R1
Il
R1
Φ l R2 L ln I 2π R1
R1 Q
R
I
I r
P
R2
l
S
dr
单位长度的自感为 L R2 ln l 2π R1
2 1 2 2
E o' i
..
1 2 2 B ( R1 R2 ) 2
设 t 0 时点 M 与点 N 重合即 0
2R2

R1
o
M B

.
N'
d
N
B
则 t 时刻 t 1 2 Φ B( R12 R2 )t 2 dΦ E i dt 1 2 B ( R12 R2 ) 2 盘缘的电势高于中心
则穿过半径为 r2 的线圈的磁通匝数为
N2Φ21 N2 B1 (π r ) n2lB1 (πr ) 代入 B1 计算得 N 2Φ21
2 1
2 1
0 n1n2l ( πr12 ) I1
M 21
N 2Φ21 I1 0 n1n2l ( πr12 )
例 4 在磁导率为 的均匀无限大的磁 介质中，一无限长直导线与一宽、长分别为 b 和 l 的矩形线圈共面，直导线与矩形线圈 的一侧平行，且相距为 d . b 求二者的互感系数. I
二 互感电动势 互感
I1 在 I 2电流回路中所产生的磁通量
Φ21 M 21I1
I 2 在 I1 电流回路 中所产生的磁通量
Φ M12 I 2 12
B1
I1 I2
B2
2013-11-15
（1 ）互感系数
Φ21 Φ M12 M 21 M 12 I1 I2
注意 互感仅与两个线圈形状、大小、匝 数、相对位置以及周围的磁介质有关. B2 I1 B1
F ………………………
B
····· ·····
EK
××××× ×××××
v
B ………………………
由洛伦兹力和 牛顿第二定律，有
v evBR m R
2
环形真空室
………………………
……………………… O R 电子轨道
F ………………………
mv p R eBR eBR
v
B ………………………
其中，BR为电子轨道所在处的磁感强度.
感应电动势的方向 dΦ E i dt B与回路成右螺旋 Φ0
B
N
dΦ 0 dt
E 0 i
S
Ei 与回路取向相反
三 楞次定律
闭合的导线回 路中所出现的感应 电流，总是使它自 己所激发的磁场反 抗任何引发电磁感 应的原因（反抗相 对运动、磁场变化 或线圈变形等）.
B
Ei 方向
O
P
d Ei (v B) dl
vBdl
E vBdl i
0
L
× ×
× ×
× d × l×
× × ×
× P ×
lBdl
0
L
× ×
×
×
B
×
×
× O v × × ×
× × ×
1 2 E B L i 2
Ei 方向
O
P
例2 一导线矩形框的平面与磁感强度为 B 的均匀磁场相垂直.在此矩形框上，有一 质量为m 长为 l 的可移动的细导体棒 MN ； 矩形框还接有一个电阻 R ，其值较之导线的 N 电阻值要大得很多. 开始 时，细导体棒以速度 B R l v0 沿如图所示的矩形框 v 运动，试求棒的速率随 M 时间变化的函数关系.
例3 两同轴长直密绕螺线管的互感 有两个长度均为l，半径分别为r1和r2（ r1<r2 ）， 匝数分别为N1和N2的 同轴长直密绕螺线管. 求它们的互感 M .
解 先设某一线圈中通以电流 I 出另一线圈的磁通量 Φ M
求
设半径为 r1 的线 圈中通有电流 I1，则
N1 B1 0 I1 0 n1 I1 l
4-2 动生电动势和感生电动势
d E i dt
引起磁通量变化的原因 （1）稳恒磁场中的导体运动 ，或者回 路面积变化、取向变化等 动生电动势 （2）导体不动，磁场变化 感生电动势
电动势
I
E


Ek dl
Ek
+
-
Ek : 非静电的电场强度.
闭合电路的总电动势 E l Ek dl
× × × × ×
I i× ×
×
×
×
× ×
v ×
× × ×
例 在匀强磁场 中，置有面积为 S 的可绕 轴转动的N 匝线圈. 若线圈以角 速度 作匀速转动. 求线圈中的感应电 动势.
N
o' en B
ω o
i
R
解 设 t 0 时, en 与 B 同向 , 则 t
N
第四章 电 磁 感 应
电磁场
本章主要内容
4-1 Faraday电磁感应定律
4-2 动生电动势和感生电动势
4-3 自感和互感
4-4 磁场的能量 磁场能量密度
4-5 位移电流 电磁场基本方程的积分
形式
4-1 Faraday电磁感应定律
法拉第（Michael Faraday, 1791－1867） 英国物理学家和化学家， 电磁理论的创始人之一. 他创造性地提出场的思想， 最早引入磁场这一名称. 1831年发现电磁感应现象， 后又相继发现电解定律， 物质的抗磁性和顺磁性， 及光的偏振面在磁场中的 旋转.
4-3 自感和互感
一
自感电动势
自感
（1）自感 Φ LI
L Φ I 若线圈有 N 匝， NΦ 磁通匝数
自感
注意
L I
I
B
无铁磁质时，自感仅与线圈形 状、磁介质及 N 有关.
（2）自感电动势 dΦ dI dL E ( L I ) L dt dt dt dL 0 时， 当 dt
I2
（2）互感电动势 dI1 dI 2 E21 M E M 12 dt dt E E 21 互感系数 M 12 dI1 dt dI 2 dt 问：下列几种情况互感是否变化？ O （1）线框平行直导线移动； （2）线框垂直于直导线移动； （3）线框绕 OC 轴转动； C （4）直导线中电流变化.
一 动生电动势
动生电动势的非静电力场来源 Fm (e)v B × 洛伦兹力
×P × × ×
× 平衡时 Fm Fe eEk × × × × Fm Fm - Ek v B × × O e E Ek dl (v B ) dl i
2R2

N R1 r dr
计圆盘厚度. 如图取线元 dr
o
.
B
dE (v B) dr i
vBdr rB dr
B
M
E o' i
..
dE (v B) dr vBdr rBdr i
2R2

N R1 r dr
d
o
2013-11-15
l
x
解 设长直导线通电流 I I I dΦ B ds l dx B 2π x 2π x d b I Φ l dx d 2π x b I Il b d ln( ) l 2π d d