一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习及答案

一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习

1.已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0（m ＞1）

。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；

（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。

2.已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 右侧），与y 轴交

于点C 。

（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；

（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；

（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式。

3.已知关于x 的方程mx 2+（3m +1）x +3=0（m ≠0）。

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；

（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y =mx 2+（3m +1）x +3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y =x +b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。

4.已知一次函数1y kx b

=+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224

y x ax =-+（其中a ＞2）。

（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）；

（2）利用函数图象解决下列问题：①若2

5=

a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围；②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围。

5.已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点。（1）求1C 对应的函数表达式；

（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的

函数表达式记为22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；

（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．

某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，根据函数图象直接写出a 的取值范围。

一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习参考答案

1.（1）证明：

()()()22

=41433=21,m m m m ∆+-+-()21,=210.

m m >∴∆-> 所以方程有两个不等实根；

（2）解：

()41212m m x m +±-=，13,1+m ∴两根分别为。1212111,01,1 2.1,3,113331 m m m x x x x m

y m m >∴<<∴+<>∴==+⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭

（3）解：作出函数3(1)m m >y=-的图象，并将图象在直线2m =左侧的部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示，易知点,A B 的坐标分别为3(3,3),(2,).2

A B --当直线2y m b =+过点A 时，可求得9

b =-过点B

时，可求得11,

2

b =-因此，。

2.解：（1）令0y =，有22210x mx m -+-+=，

∴2()10x m --+=，∴2()1x m -=，

∴11x m =+，21x m =-，

∵点B 在点A 的右侧，

∴(1,0)A m -，(1,0)B m +；

（2）∵点B 在原点的右侧且在点A 的右侧，点C 在原点的下方，抛物线开口向下，

∴10m ->，∴1m >，

∴1OB m =+，

令0x =，有21y m =-+，

∴21OC m =-，∵BOC △是等腰三角形，且∠BOC =90°，

∴OB OC =，即211m m +=-，

∴210m m --=，∴12m =，21m =-（舍去），∴2m =，∴抛物线的解析式为243y x x =-+-。

（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，

由此可得交点坐标为(1,0)和(4,3)-。

将交点坐标分别代入一次函数解析式y kx b =+中，

得 0 4 3.k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得

1 1k b =-⎧⎨=⎩，．

一次函数的解析式为1y x =-+。

3.（1）证明：∵m ≠0，

∴mx 2+（3m +1）x +3=0是关于x 的一元二次方程.

∴△=（3m +1）2－12m =（3m －1）2。∵（3m －1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式，得x 1=－3，x 2=1m

-。∵方程的两个根都是整数，且m 为正整数，∴m =1；

（3）解：∵m =1时，∴y =x 2+4x +3，

∴抛物线y =x 2+4x +3与x 轴的交点为A （－3，0）、B （－1，0）。依题意翻折后的图象如图所示，

当直线y =x +b 经过A 点时，可得b =3。

当直线y =x +b 经过B 点时，可得b =1。

∴1＜b ＜3。

当直线y =x +b 与y =－x 2－4x －3的图象有唯一公共点时，

可得x +b =－x 2－4x －3，∴x 2+5x +3+b =0，∴△=52－4（3+b ）=0，∴b =134，∴b ＞134

，