3.3高斯光束的传播特性

)2 ]
z0 [1
(
f z0
)2 ]
x2 y2 zz
0 2R(z)
5.当 z0 时0 ， R(z) 0
z 0 0
R(z0) 0
6.当 z0 时0 ， R(z) 0
z 0 0
R(z0) 0
——共焦腔的等相面是凹面向着腔的中心的球面
zz 0 0 zz 0 0
结论:在z ＜ 0 处,光束是沿着z的方向传播的会聚球面波;
①当 z=0 时， z 达到最小值
0
1 2
s
1 2
L
——高斯光束的基模腰斑半径(腰粗)
②当 z f 时L，即在镜面上时，有：
2
z
20
L
3、 (z) 在纵截面上的表达式
( 0
z)
1 2
L [1 2 s
(
1 2
2z )2] L
L
(
z
)
0
1
(
z
2 0
)2
2 02
z2
(
2 0
1
2
2
x2 y2 ws2
exp ix,
y, z
1
Hm
2 1
2
2 ws
x Hn
2 1
2
2 ws
y
exp
2 1
2
x2 y2 ws2
行波场横向振幅分布因子
—厄米—高斯函数
在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的 规律从中心(即传输轴线)向外平滑地降落。
花样：沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。
k
L 2
1
2z L
1
2z L 2z
2
x2
L
y
2
2
z
k
L 2
1
2z0 L
2
z0
L
若忽略由于z的变化而造成附加相移因子的微小变化，则在近
轴情况下，z处的等相位面方程为：
2z
2z0
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z z0
1
L 2z L
2
x2 y2 L
L
1
2z0 L
2
x2
y2 L
2z0
3.3 高斯光束的传播特性
回顾 ——求解对称开腔中的自再现模积分方程, 了解输出激光的具体场的分布
前瞻 —— 研究高斯光束的传播特性
1
3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布
一、共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
umn x, y, z CmnHm
2 1
2
2 ws
x Hn
2 1
2
2 ws
y
exp
umnx, y, z CmnHm
2
1
2
2 ws
x Hn
2
1
2
w2s相y位因 子
exp
2
1
2
x2 y2 ws2
exp
i x,
y,
z
位相弯曲因子
附加相移因子
传播因子
(x, y, z) k[ L (1
2
2z 2z L
L
) 1 (2z
L)2
x2
y2
] (m n 1)(
L
2
)
———决定了共焦场的位相分布
束腰处的等相位面为平面， 曲 率中心在无穷远处
无穷远处等相位面为平 面，曲率中心在z=0处
光束可近似为一个
由z=0点发出的半径
为z的球面波。
共焦腔的反射镜面是两个等
相位面，与场的两个等相位
面重合,且曲率半径达到最小
值。
10
R02 x2 y2 z z0 R0 2
R0
z0 [1
(L 2z0
s2
基横模TEM00的光强
I 00
U002
Cm2 n
exp
1
4
2
x2 y2
s2
——基模截面是高斯函数
2、光斑尺寸振幅下降为最大值1/e时的光斑半径
(z) s
2
1 2 s
2
1
4z2 L2
3
(z) s 1 2 s
2
2
ωs xs2 ys2 L
4z2
1
L2
(z)
L [1 ( 2z )2 ] 2 L
)2
1
4
2 02
z2
(
2 0
)2
1
——光斑半径随z按照双曲线规律变化。
5
三、 模体积
1、定义：描述某一腔模在 腔内扩展的空间体积。
2、意义：模体积大，对 激活介质能量的提取就 大，对模式振荡作贡献 的粒子数越多，就有可 能获得大的输出功率。
3、对称共焦腔基模的模 体积：看成底半径为ω0， 高为L的圆柱体。
arctan L 2z
L 2z 7
一、等相位面的分布
1、等相位面——行波场中相位相同的点连成的曲面
2、与腔轴线相交于z0的等相位面的方程 x, y, z 0,0, z0
(x, y, z) k[ L (1
2
2z 2z L
L
) 1 (2z
L)2
x2
y2
] (m n 1)(
L
2
) (0,0, z0 )
x2 y2
1
L 2z0
2
8
3、等相位面的特点
2z
z z0
1
L 2z L
2
x2
y2 L
2z0
L
1
2z0 L
2
x2
y2 L
2z0
x2 y2
1
L 2z0
2
在近轴情况下，等相位面是顶点位于z0的旋转抛物面，抛物面的焦距为：
f ' z0 f 2 2 2z0
在z = 0处变成一个平面波;
在 z＞0处又变成发散球面波。
11
三.共焦场的等相位面的分布图
共焦场等相面的分布
可以证明：
如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应
曲率的反射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿
可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z0处的等相位面近 似为球面，其曲率半径为：
R0
2
f
'
z0 [1
(L 2z0
)2 ]
z0 [1
(
f z0
)2 ]
(3 38)
则有：
z
z0
x2 y2 2R0
R0
x2 y2 1 R02 R0
R02 x2 y2 R0
R02 x2 y2 z z0 R0 2
图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
决定一个模式能否振荡，能 获得多大的输出功率，与其 它模式的竞争情况等。
V000
1 2
L
2 0s
L2
2
高阶模：
Vm0n
1 2
L ms ns
（2 m
1）（ 2n
1）L2
2
（2m 1）（ 2n 1）V000
6
3.3.2 高斯光束的相位分布
共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
球面方程
——等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面 9
二.讨论 R02 x2 y2 z z0 R0 2
R0
z0 [1
L ( 2z0
)2 ]
z0 [1
(
f z0
)2 ]
注：高斯光束等相面的曲率中 心并不是一个固定点，它要随 着光束的传播而移动。
1.当 z0 时0 ， R(z0 ) 2.当 z0 时， R(z0 ) 3.当 z0 时f， R(z0 ) z0 4.当 z0 时 f， R(z0 ) L 2 f
• ：exp ix,位y, z相因子，决定了共焦腔的
位相分布。
2
umn x, y, z CmnHm
2 1
2
2 ws
x Hn
2 1
2
2 ws
y
exp
2 1
2
x2 y2 ws2
exp ix,
y, z
二、振幅分布和光斑尺寸
1、振幅分布
对基横模TEM00
U 00
Cmn
exp
1
2
2
x2 y2