232双曲线的简单几何性质(二)

3
5
5
5
练习:
1.过双曲线
x2 9
y2 16
1 的左焦点
F1 作倾角为
4ຫໍສະໝຸດ Baidu
192
交于 A、B 两点，则|AB|= 7 .
c2
y2 a2
1②
令 c2
a2
b2 ,方程②化为
x2 a2
y2 b2
1 这就是所求的轨迹方程.
∴点 M 的轨迹是实轴长为 2a、虚轴长为 2b 的双曲线.
直线与双曲线问题：
例6、如图，过双曲线
x2 y2 36
1 的右焦点 F2 ,
倾斜角为 30 的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
③
• 解方程③（使用计算器），得 b≈25(m)
• 所以所求双曲线方程为
x2 y 2 1. 144 625
例5、点M（x,y）与定点F（5,0）的距离和它到定
l 直线 ：x 16 的距离的比是常数 5 , 求点M的
轨迹.
5
4
解:设d是点M 到直线l : x 16的距离,根据题意,点M的轨 5
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 x a 或 x a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 y a 或 y a，x R
由
3
y
( x 3), 3
x
2
3
y2 6
1,
消去y,得5x2 6x
设A、B的坐标为(x1, y1)、(x2, y2 )则x1 x2
由弦长公式得，
27
6 5
0
, x1
x2
27 5
AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
= 1+( 3 )2 ( 6)2 4 ( 27 ) = 16 3
9 5
将x1, x2的值代入① 得，y1 2
3,
y2
23 5
所以，AB (3 9 )2 (2 3 2 3 )2
5
5
= 16 3 5
解法二：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(3, 0),
F2 (3, 0)因为直线AB的倾斜角是30，且直线经过右焦点
F2 , 所以，直线AB的方程为
y=
3 3 (x 3)
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
1、“共渐近线”的双曲线
与 x2 y2 1共渐近线的双曲线系方程为 x2 y2 ( 0，为参数)，
a2 b2 x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
e c (0 e 1) a
无
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
图形
a2 b2
a2 b2
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、“共焦点”的双曲线
x2
（1）与椭圆 a2
y2 b2
1(a b 0)有共同焦点的双曲线方程表
示为
x2
a2
y2
b2
1(b2
a2 ).
（2）与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)有共同焦点的双曲线方
迹就是集合
P {M MF 5}, d4
由此得
(x 4)2 y2 5
.
25 x
4
4
将上式两边平方, 并化简得
y
l
9x2 16 y2 144,
即
x2 y2 1
0
16 9
所以,点M的轨迹是焦点在x轴，实轴、虚轴长分别为
8、6的双曲线，其轨迹方程是 x2 y2 1 16 9
动点 M ( x, y) 与定点 F(c,0)(c 0) 的距离和它到定直线
解法一：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(3, 0), F2 (3, 0)因为直线AB的倾斜角是30，且直线经过右焦点 F2 , 所以，直线AB的方程为
y=
3 3 (x 3)
①
由
y x2
3
3 3 y2 6
(x
1,
3),
消去y,得5x2 6x 27 0
解这个方程得x1
3, x2
程表示为 x2 y2 1(b2 a2 )
a2 b2
例题讲解
例4、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′
A′
y
13 C
12
0
Ax
B′
双曲线的性质(二)
图形
方程 范围
y
. B2
A1 F1 O
.
F2 A2
F1(-c,0) B1 F2(c,0) x2 y2 1(a b 0) a2 b2
a xa b yb
y
x
. .B2
F1 A1O A2 F2 x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1 (a 0,b 0 )
: x a2 的距离的比是常数 c ( c 1) ,求点 M 的轨迹方程.
c
aa
解:∵点 M ( x, y) 到定直线
a2 :x
的距离 d
a2 x
,
c
c
MF
(x c)2 y2 , 依题意 MF
d
c ,∴ a
( x c)2 y2 c ①,
x a2
a
c
方程①两边平方化简整理得
x2 a2
点B、C在双曲线上，所以
252 122
( y 55)2 b2
1
(1)
y
132 122
y2 b2
1
(2) C′
由方程(2)得 y 5b（负值舍去）代入方程(1)，得 A′
0
13 C
12
x
A
12
252
( 5b 55)2 12
1,
122
b2
B′
25 B
• 化简得 19b²+275b-18150=0
25 B
解：如图，建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标
系xoy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重
合。这时，上、下口的直径CC′、BB′都平行于x轴，
且| CC′|=13×2(m), | BB′|=25×2(m)。
设双曲线的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
令点C的坐为(13,y)，则点B的坐标为(25,y-55)。因为