等差数列专题(教师版)

等差数列专题(教师版) work Information Technology Company.2020YEAR

等差数列专题

一、等差数列知识点回顾与技巧点拨

1．等差数列的定义

2．等差数列的通项公式和前n 项和公式

3．等差中项

A 是x 和y 的等差中项⇔A ＝x ＋y

2. 4. 两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….

(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 4．等差数列的常用性质

（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅。

（2）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列。

（3） 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等差数 列，公差为md 。

（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是前n 项和，那么数列k k k k k S S S S S 232,,--,…成公差为k 2d 的等差数列。

（5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和

1）当项数为偶数n 2时，)(n 12++=n n n a a S ，1

偶奇奇

偶,+==-n n

a a S S nd S S

()

121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+=

=奇 ()

22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶

2）当项数为奇数2n-1，则

n

偶奇偶奇1-2a )12(=--=+=S S a n S S S n n

偶奇-n （na S ==S n

1

偶奇-=

n n

S S

（6）等差数列{}n a {}n b 前n 项和为S n ,T n ，则

1

21

2)12()12(--=

--=n n n n n n T S b a n n b a 5、n a 与n S 之间的关系

⎪⎩⎪⎨

⎧=≥-=-)

1()

2(1

1

n S n S

S a n n

n

6．等差数列的前n 项和公式和最值问题

（1）等差数列前n 项和公式与二次函数的关系 （2）n S 的最值求法

① ② ③

L 大

例题与练习

考点1:等差数列的基本计算

题型1：已知等差数列的某些项，求某项

【例1】已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a 24 练习：

1．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为

( B ) A ．765

B ．665

C ．763

D ．663 2．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为

( C ) A ．26

B ．29

C ．39

D ．52

3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝__15______. 4．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .

由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.

从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .

(2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]

2＝2n －n 2.

由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，

即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.

题型3：求等差数列的前n 项和

【例3】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，2

12n n S n -=.

（1）321a a a ++； ⑵求10321a a a a ++++ ；⑶求n a a a a ++++ 321. 解：由0213≥-=n a n ，得2

13

≤n ，∴当61≤≤n 时，0>n a ；当7≥n 时，0

27331223321321=-⨯==++=++S a a a a a a ；

⑵)(10987632110321a a a a a a a a a a a a +++-++++=++++

52)101012()6612(222

2106=-⨯--⨯=-=S S ；

（3）61≤≤n 时，2

32132112n n a a a a a a a a n n -=++++=++++ ， 当7≥n 时，)(876321321n n a a a a a a a a a a a +++-++++=++++

.7212)12()6612(222

226+-=---⨯=-=n n n n S S n

练习：1．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .

解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.

∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n .

(2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0； 当n <5时，a n >0.

∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝2·(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，

当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.

∴S n ＝

⎩

⎪⎨

⎪⎧

9n －n 2 (n ≤5)

n 2－9n ＋40 (n >5) 2．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，

则它的第七项等于 （ ） A ．22 B ．21 C ．19 D ．18

.

考点2：等差中项的应用