第二章 物理系统的数学模型

• 许多看似非常不同的物理系统，却可以用结构完 全一样的微分方程（数学模型）来表达。本课程就 是以这些模型为基础，研究不同领域对象共同规律 的。
如何获取系统的数学模型，方法有两类： 1、实验法（系统辨识法）－人为施加某种测试信号， 记录基本输出响应。根据测试信号及响应信号随时间的变 化规律，依赖某种算法，计算出模型的结构及参数。特点： 把系统当黑匣子处理，无需了解其结构、组成及工作机理。
x2 x20
x1 x10 x2 x20
( x x10 )( x x20 )
2 f ( x1 , x2 ) ( x2 x20 ) 2 ] x 2 2 x1 x10
x2 x20
f ( x1 , x2 ) f ( x1 , x2 ) y f ( x10 , x20 ) [ ( x1 x10 ) ( x2 x20 )] x1 x2 x1 x10 x1 x10
dUc1 dUc1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt 将i1、i2代入①、③，则得
U1 R1i1 R2 i2 Uc 2
dUc1 dU 2 dU 2 R1 (C1 C2 ) R2 C 2 U2 dt dt dt
U1 R1i1 R2 i2 Uc 2
为什么要建立数学模型
物理系统的内部变量对输入有依赖，内部变量对输出 有影响，内部变量之间也会相互影响，如何影响，影响程 度如何，都需要用数学语言来精确地定量描述，只有用数 学语言描述后系统，其特性才得以精确地反映，才能为控 制器所理解、所利用。
• 实际物理系统(不管是机械的、电气的、热力学的、 液压，也不管是单一元件组成的简单系统或者众多 原件组成的复杂系统)都可以用微分方程来描述其输 入输出关系。通过对其求解可以获得系统的响应。
（4）轴上动力学方程
J d M g (t ) M f (t ) C M i (t ) M f (t ) dt

-
消去中间变量i, e, M g
2
（电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量）
LJ d RJ d 1 u (t ) CM Ce d t 2 CM Ce dt Ce C
2-3 运动方程的线性化
• 严格地将，实际物理系统都是非线性的；
• 建模原则是在保证模型具有可接受精确度的前提下应该
尽量简单，阶数尽量低，最好是线性模型。采取的方法
是：抓住主要因素忽略次要因素，使系统理想化。
• 还有些元器件其非线性程度无法在全工作范围内用统一
的线性模型描述；有些较复杂的系统，即使用一系列假
标准形式2：
d
2
xc
2
dt
2 dxc n 2 2 n n xc fr dt k
称 n 为无阻尼震荡频率
RLC电路
克希霍夫回路电压定律
+
+
i
u (t)
i(t)
uc (t)
u i u u u (t ) di 1 u i Ri L dt C idt
R L c
输入（已知） 黑匣子 输出（已知）
2、解析法（机理分析法）
对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统及元件各变 量之间所遵循的物理、化学定律，列出变量之间的数学表达式， 建立数学模型。
建模步骤
分析系统工作情况，明确各元部件或子系统的输入和输出 变量,并引入必要的中间变量 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循 的物理或化学定律，列写元部件动态方程 消去中间变量，得到系统输入、输出之间的微分方程 标准化，将关于输入的项按照导数阶次由高到低的顺序写 在等号右边，输出项按照相同的方式写在左边，并将最高阶 项系数归一化
d 2U 2 dU 2 R1R2C1C2 ( R1C1 R1C2 R2C2 ) U 2 =U1 2 dt dt
T
2
2 T
二阶常系数线性微分方程
电枢控制的他励直流电动机
输入的电枢电压u在电枢回 路中产生电枢电流i，再由 电流i与激磁磁通相互作用 产生电磁转距M g，从而拖 动负载运动。因此，直流 电动机的运动方程可由以 下三部分组成。 • 电枢回路电压平衡方程 • 电磁转矩方程 • 电动机轴上的转矩平衡方 程
无量纲，称阻尼系数或阻尼比
时间单位，称为时间常数
弹簧--质量--阻尼器系统
2
标准形式1： kxc
f dxc dt
T2
d
xc
2
dt
2 T
dxc 1 xc f r dt k
fr
k
m
xc f F
m
特点： 最低导数项系数为1 每项系数的量刚都是时间的若干次幂 ，幂次等于该项的导数阶数
1 令 n , 有 T
电位器 放大器 电动机 比较元件： 放大器： 减速器：
减速器
c
r c
电位器： 电动机：
u K1
d 2 d Tm 2 K mu (t ) dt dt
u K2u
c i
消去中间变量
, u , u,
得
即：
d 2c dc Tm 2 Kc K r , 其中K K1K 2 K m / i dt dt Tm d 2c 1 dc c r 2 K dt K dt
若L、C、R为常数，则为 二阶常系数线性微分方程
令 标准形式：
-
又有：i C
du c
dt i为中间变量，消去，得：
d u (t ) RC d u (t ) (t ) (t ) LC u u dt dt
c 2 c c i
2
T 2 LC, 2 T RC
2
或 T LC ,
c c i
i
+
负载 Mf
L
u
+
e
J
Mg
R
i
f

-
电枢控制的他励直流电动机
（1）电枢回路(克希霍夫定律)
i
+
Mf
负载
L
di dt
i
R e u
Ce反电势系数
（2）反电势(楞次定律)
L
u
+
wk.baidu.com
e
J
Mg
e (t ) C (t )
e
（3）电磁力矩（安培定律）
R
i
f
M g (t ) C M i (t )
U c1 R2i2 U c 2
U1 R1i1 U c1
1 U c1 (i1 i2 )dt C1
① ② ③
U c2
1 i2 dt C2
④
⑤
U 2 U c2
U c1 R2i2 U c 2
由④、⑤得 由②导出
dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt
R1
R2
i2
C2 U2
U1(t)为输入量，U2(t)
为输出量的网络微分方 程。
U1
i1
C1
图2-1
RC组成的四端网络
设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程：
U1 R1i1 U c1
1 U c1 (i1 i2 )dt C1
①
U c2
1 i2 dt C2
④ ⑤
②
③
U 2 U c2
y f ( x1 , x2 ) f ( x10 , x20 ) [ f ( x1 , x2 ) f ( x1 , x2 ) ( x1 x10 ) x1 x2 x1 x10
x2 x20 x1 x10 x2 x20
( x2 x20 )]
f ( x1 , x2 ) 1 2 f ( x1 , x2 ) [ ( x1 x10 ) 2 2 2! x12 x1x2 x1 x10
增量较小时略去其高次幂项，则有
y y0 f ( x) f (x0 ) f ' (x0 )(x x0 )
令
有
x x x0
y y y0
y f ' ( x0 )x k x
y y0 y
两个变量的非线性函数线性化 y=f(x1,x2)同样可在某工作点（x10,x20）附近用台劳级数 展开
d 2c dc d 2c d 2 标准化：T 2 2 2 T c r , 2 2n c nc r dt dt dt dt
• 上述系统表面上虽然很不相同，但都可用二阶常 系数线性微分方程描述，这表明其输出对输入的 依赖关系从结构上讲是相同的，我们把这样的两 个或多个系统称为相似系统。 • 能用二阶线性微分方程描述的系统称为二阶系统， 很多系统经过简化后，都可归为二阶系统。三阶 或三阶以上系统称为高阶系统。 • 微分方程是动态方程，即系统在运动状态下的输 入输出关系，进入稳态后，其关系用代数方程表 示。 • 上面的系统都是针对线性元器件建立的，其数学 模型是线性微分方程。对非线性元器件又当如何 处理？？？？？？？？？？
dUc1 dU 2 dU 2 R1 (C1 C2 ) R2 C 2 U2 dt dt dt dU 2 dU 2 d R1 [C1 ( R2 i2 U 2 ) C 2 ] R2 C 2 U2 dt dt dt
d 2U 2 dU 2 dU 2 dU 2 R1C1 R2 C 2 R1C1 R1C 2 R2 C 2 U2 2 dt dt dt dt
设简化后，其输入、输出和状态量之间的关系仍是非线 性的。例如六自由度飞机运动方程。 • 对非线性系统，一种近似处理方法是在工作点附近进行 线性化处理，即小扰动线性化方程。
含一个自变量的非线性函数 y=f(x)，在x0处连续可微，则可 将它在该点附件用台劳级数展开
y f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) 1 '' f ( x0 )( x x0 ) 2 2!
第二章 物理系统的数学模型
第二章 物理系统的数学模型
§2-1 引言
§2-2
§2-3
元件和系统运动方程的建立
运动方程的线性化
§2-4
§2-5
拉普拉斯变换
用拉普拉斯变换方法解微分方程
§2-6
§2-7
传递函数
结构图等效变换
§2-8
反馈控制系统的传递函数
引言
何谓数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的 数学表达式。 数学表达式具有多种形式，同一系统的数学模型具有 多样性。 不同形式的数学模型所反映的量和量之间的本质 关系不变。
1 dM f R Mf M Ce dt CM Ce
忽略电感L并认为负载转矩为常数，则方程简化为：
RJ d 1 u (t ) CM Ce dt Ce C
R Mf M Ce
1
令
Tm
RJ CC
e
，K m
M
C
e
， M K
R CeCM
则
Tm
d K mu (t ) K M M f dt
x2 x20 x2 x20
即：y k1x1 k2 x2
这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的
例：把非线性方程 z=f(x,y)=xy在区域5≤x≤7 、 10≤y≤12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5， y=10时z值所产生的误差。 由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故 选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66. 求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性 化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰 勒级数，并忽略其高阶项，则有
弹簧--质量--阻尼器系统
牛顿第二定律
x dx m d 2c f r kxc f c dt dt
dxc dt
2
fr
k
kxc
f
x dx m d 2c f c kxc f r dt dt
2
若m、k、f为常数，则为 二阶常系数线性微分方程
2
m
xc f fr
m
m d xc f dxc 1 xc f r k d t 2 k dt k f m 2 令 T , 2 T k k f m T , k 2 mk
R C 2 L


T
2
d u (t ) 2 T du (t ) u (t ) u (t ) dt dt 2
c 2
d u (t ) 2 dt
c 2
n
duc (t ) 2 2 n uc (t ) n uc (t ) dt
RC四端网络
右图为由一RC组成的四
端无源网络。试列写以
转速/电压 转速/转矩
d dt
具有时间的量纲， 称为机电时间常数
若以转角为输出，因为
有
d 2 d Tm 2 K mu (t )K M M f dt dt d 2 d K mu (t ) 有些小功率系统，负载较小，则 Tm 2 dt dt
系统运动方程的列写（教材图1-7的随动系统） u u 系统原理框图为： r