7-5 离散系统的卷积和分析

7-5 离散系统的卷积和分析

一、离散时间信号的时域分解

根据单位序列)(k δ及单位移位序列)(m k -δ的抽样性，即

)()0()()(k f k k f δδ= )()()()(m k m f m k k f -=-δδ

可将任意序列f(k)用单位序列及其移位序列表示，即

=⋅⋅⋅+-+-+++-+⋅⋅⋅=)2()2()1()1()()0()1()1()(k f k f k f k f k f δδδδ

∑∞

-∞

=-i i k k f )()(δ (7-31)

可见任意离散时间信号在时域可表示为)(i k -δ的线性组合，或者为在不同离散序号上

出现的具有不同加权值的离散序列和。

对于右边序列有

∑∞

=-=0

)

()()(i i k i f k f δ

例如，对于图7-21所示离散时间，可表示为

)5(2)4(4)3(6)2(4)1(2)(-+-+-+-+-=k k k k k k f δδδδδ

二、卷积和

设两个离散时间信号为)(1k f 和)(2k f ，定义)(1k f 与)(2k f 的卷积和运算为

)()()()(2

1

21i k f

i f k f k f i -=

*∑∞

-∞

= (7-32)

与连续时间信号的卷积积分相同，卷积求和也满足基本运算规律，即

k

图 7 - 21

交换律：)()()()(1221k f k f k f k f *=* (7-33)

分配律：)()()()()]()([)(3121321k f k f k f k f k f k f k f *+*=+* (7-34) 结合律：)()]()([)]()([)(321321k f k f k f k f k f k f **=** (7-35)

卷积和也可通过图解法来计算，其基本步骤与卷积积分类似，可分解为反折、平移、相乘、取和等，现通过下例说明。

例7-17 图7-22所示离散信号)(1k f 和)(2k f ,求)()()(21k f k f k y *=。

解 图解法可分如下步骤：

k

(a)

图

7 - 22

k

(b)

(a)

(b)

(c)

(d)

图 7 - 23

k

(e)

(1) 画出)(1i f , )(2i f 图形；

(2) 将)(2i f 图形折叠，即按纵轴翻转180°，得到)(2i f -图形，如图7-23(b)所示； (3) 将)(2i f -图形沿i 轴平移，得到)(2i k f -图形；

(4) 对任一给定值k ，得到)(2i k f -图形后进行)(1i f 与)(2i k f -相乘，求和运算，得到给定k 的卷积和)(k y 值。若令k 由∞-到∞变化， )(2i k f -图形将沿i 轴自左向右进行平移，则得到不同k 上的)(k y 值。

具体计算过程如下：

当0

当0=k 时，)(2i f -如图7-23(b)所示，

∑∞

-∞

===-=

i f f i f

i f y 4

)0()0()0()()0(212

1

当1=k 时，)1(2i f -如图7-23(c)所示，

∑∞

-∞

==⨯+⨯=-=

i i f

i f y 15

4331)1()()1(2

1

当2=k 时， )2(2i f -如图7-23(d)所示，

∑∞

-∞

==⨯+⨯+⨯=-=

i i f

i f y 19

423321)2()()2(2

1

同理可得y(3)=13, y(4)=7, y(5)=2, 以及当k ＞5时y(k)=0。 故卷积和可表示为

⎪

⎪⎪

⎪⎩⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧=======其他

05 24 73

132 191 150 4)(k k k k k k k y

其图形如图7-23(e)所示。

卷积和计算有许多不同方法，其中“序列阵表格法”也是常用方法之一。这种方法不需画出序列图形，而首先将两个序列)(1k f ,)(2k f 按次序分别以行、列排列，然后对应行列值相乘得到一个表格，最后将对应对角线上的数值叠加，即可得到相应卷积和值。比如以上例

)(1k f ,)(2k f 列表如表7-3所示。

表7-3例7-17序列阵表格法计算结果

因此

y(0)=4 y(1)=12+3=15 y(2)=8+9+2=19 y(3)=0+6+6+1=13 y(4)=0+0+4+3=7 y(5)=0+0+0+2+0+0=2

并且 y(k)=0 k ＞5

图解法和列表法求卷积和常常难以形成一个闭合表达式，因此对于可用解析表达式表示的序列进行卷积求和时，可直接按定义进行计算，并根据序列特征写成闭合式。常用因果序列卷积和如表7-4所示，以备查用。此外，在实际应用中借助离散傅里叶变换中的快速傅里叶变换算法，利用计算机也可较简便地求得两序列卷积和。

三、 离散时间系统卷积和分析

对于线性时不变离散时间系统，若激励为单位序列)(k δ，单位序列响应为)(k h ,则激励与系统零状态响应之间有如下关系：

激励 零状态响应

)()0(k f δ )()0(k h f )1()1(-k f δ )1()1(-k h f

┇ ┇

)()(i k i f -δ )()(i k h i f -