高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.2 圆的一般方程练习 北师大版必修2

2．2 圆的一般方程

时间：45分钟 满分：80分

班级________ 姓名________ 分数________

一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)

1．方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是( )

A ．以(1，－2)为圆心，

11为半径的圆 B ．以(1,2)为圆心，

11为半径的圆 C ．以(－1，－2)为圆心，

11为半径的圆 D ．以(－1,2)为圆心，

11为半径的圆 答案：D

解析：将x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0整理为标准方程(x ＋1)2＋(y －2)2＝11.

2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )

A ．m ＜12

B ．m ＜10

C ．m ＞12

D ．m ≤12

答案：A

解析：方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0，变形为(x －12)2＋(y ＋12)2＝12

－m ，方程表示圆， ∴12－m ＞0，即m ＜12

. 3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )

A ．2 B.22

C ．1 D.

2 答案：D

解析：因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离d ＝|1＋2－1|2

＝ 2. 4．如果圆x 2＋y 2＋ax ＋by ＋c ＝0(a 、b 、c 不全为零)与x 轴相切于原点，那么( )

A ．a ＝c ＝0，b ≠0

B ．a ＝0，b ≠0，c ≠0

C ．b ＝c ＝0，a ≠0

D ．a ＝b ＝0，c ≠0

答案：A

5．方程|x|－1＝1－y－12所表示的曲线是( )

A．一个圆B．两个圆

C．一个半圆D．两个半圆

答案：D

解析：方程可化为(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，又|x|－1≥0，所以x≥1或x≤－1.若x≤－1，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1；若x≥1，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.方程表示两个半圆．6．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－

2)2＋(b－2)2的最小值为( )

A. 5 B．5

C．2 5 D．10

答案：B

解析：由题意，得直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.

二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)

7．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以C(2，－4)为圆心，半径等于4的圆，则D ＝__________，E＝__________，F＝__________.

答案：－4 8 4

解析：因为圆心C(2，－4)，r＝4，

所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，

整理得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0.

∴D＝－4，E＝8，F＝4.

8．圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值是________，最小值是________．答案：7 3

解析：由题意，知圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2.圆心O(0,0)到点A(3,4)的距离d＝0－32＋0－42＝5，直线OA与圆相交于两点，显然这两点中的其中一个与点A的距离最近，另一个与点A的距离最远，所以距离的最大值为d＋r＝5＋2＝7，最小值为d－r＝5－2＝3.

9．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．

答案：(－∞，1)

解析：由题意，知直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4.将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，所以a－b<1.

三、解答题(共35分，11＋12＋12)

10．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的方程．

解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

又圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2

，－E 2在直线2x －y －7＝0上， ∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫－E 2－7＝0， 即D －E

2

＋7＝0. ① 又点A (0，－4)，B (0，－2)在圆C 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

16－4E ＋F ＝04－2E ＋F ＝0

， ② 由①②，解得D ＝－4，E ＝6，F ＝8.

∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0.

11．求经过两点A (4,2)，B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 解：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，

所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；

令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，

所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；

由题设，x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，

所以D ＋E ＝－2.①

又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上，

所以16＋5＋4D ＋2E ＋F ＝0，②

1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，

由①②③可得D ＝－2, E ＝0, F ＝－12，

故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.

12．已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心在直线x ＋3y －15＝0上．设点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值．

解：∵线段AB 的中点为(1,2)，直线AB 的斜率为1，

∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －2＝－(x －1)，即y ＝－x ＋3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3x ＋3y －15＝0，解得⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝6，即圆心C 为(－3,6)， 则半径r ＝

－3＋12＋62＝210. 又|AB |＝3＋12＋42＝42，

∴圆心C 到AB 的距离d ＝

2102－222＝42， ∴点P 到AB 的距离的最大值为d ＋r ＝42＋210， ∴△PAB 的面积的最大值为12×42×(42＋210)＝16＋8 5.