求圆锥曲线方程的常用方法

± 3， 将它代入抛物线方程得
故所求P点坐标为 （
）和（
，-3 ）
注解！
例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点 M（2，4），它们的对称轴都是坐标 轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线 在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭 圆、双曲线的右顶点连成的三角形的 面积为6.
练习1 练习2
•待定系数法
•由题设条件，
静音
根据圆锥曲 线的定义确 定曲线的形 状后，写出 曲线的方程。
y
例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为4 2， 一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在 线段AB上，且椭圆经过点A，B。 求：该椭圆方程。
A
D
O

C
x
[解]
|BC| = 4 2
B 如图， 设椭圆的另一个焦点为D
2
F 2 O （m，0）
（a，0）
4

X
抛物线：y2 = 8x
2
椭圆、双曲线方程分别为
x y + =1 12 + 8 2 8 + 8 2
x 12 - 8 2
2
- y =1 8 2 -8
2
点评：待定系数法是求曲线方程的最常用方法。
•轨迹法
练习1
练习2
•定义法
•待定系数法 •小结
•作业
１.已知定点M（1，0）及定直线L：x=3，求到M和 L的距离之和为4的动点P的轨迹方程。 ２.动圆M和 y 轴相切，又和定圆相外切，求动圆 圆心M的轨迹方程。 3.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，一 条准线为 x=1，直线L过左焦点F，倾角为45°， 交椭圆于A，B两点，若M为AB的中点且AB与OM的夹 角为arctan2时，求椭圆的方程。
2
m = 12 8 2 = 2 3 2 2 = 2 ( 2 1)
2
= 2( 2 1) = 2 2 2
∴ | a m |= 2 2 + 2 (2 2 2) = 4
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•思考题
已知Q点是双曲线C上的任意一点，F1、F2是 双曲线的两个焦点，过任一焦点作∠F1QF2的角 平分线的垂线，垂足为M。求点M的轨迹方程并画 出它的图形。
A
求：该椭圆方程。
[解]
得 a = 2+
2
|AD| = 2 2 |AD| + |AC| = 2a 2c 2 |AC| = ×4 2 = 4 2 在ADC中 |DC|2 = |AD|2 + |AC|2 = （ 2 2 ）2 + 16 = 24
}
D
B
O

C
x
x y 故所求椭圆方程为 + =1 6+4 2 4 2
例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点 M（2，4），它们的对称轴都是坐标 轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线 在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭 圆、双曲线的右顶点连成的三角形的 面积为6.
2 2
4 Y
M
（xp，yp） P
2
F 2 O （m，0）
例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点 M（2，4），它们的对称轴都是坐标 轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线 在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭 圆、双曲线的右顶点连成的三角形的 面积为6.
4 Y
M
2
O F 2 4 X
抛物线方程：y2 = 8x ，焦点F（2，0） 设椭圆、双曲线方程分别为
( x 3) 2 ( y 0) 2 x 3
如图， 作直线 n：x = -3
m
n
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。 故，点P的轨迹是 以 A 为焦点， 以 n 为准线的抛物线。
a = 12 + 8 2 = 4(3 + 2 2 ) = 2 3 + 2 2
2 ( 2 1) = 2( 2 + 1) = 2 2 + 2
2
4 Y
M
（xp，yp） P
2
F 2 O （m，0）
（a，0）
4

X
椭圆、双曲线方程分别为
1 2
x y + =1 12 + 8 2 8 + 8 2
2
抛物线：y2 = 8x x y =1 12 - 8 2 8 2 - 8
2 2
|yp| 易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3 由题设得 6= S= |a-m|· 9 ± 即yp= 3， 将它代入抛物线方程得 xp= 8 故所求P点坐标为 （
x2 y2 1 a 2 b2
则a2 - b2 = 4 ，m2 + n2 = 4 ；又 4 + 16 = 1
a
2
b
2
4 16 =1 m n
2 2
x y =1 m n
2 2 2 2
解得：
4 Y
例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点 M（2，4），它们的对称轴都是坐标 轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线 在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭 圆、双曲线的右顶点连成的三角形的 面积为6.
M
2
O F 2 4 X
抛物线：y2 = 8x
a = 12 + 8 2 ,
2
m = 12 - 8 2 ,
2
b = 8 + 8 2;
2
n = - 8 + 8 2;
2
椭圆、双曲线方程分别为 ∴
x y + =1 12 + 8 2 8 + 8 2
2 2
x 12 - 8 2
2
- y - =1 8 2 8
2
4 Y
求圆锥曲线方程的常用方法
•轨迹法
•定义法
•待定系数法 •建系设点 •写集合 •列方程 •化简
•静
练习1
练习2
•证明
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。 求：动点P的轨迹方程。 [解法一]轨迹法
( x 3) ( y 0) x 5 2
4 Y
M
2
O F 2 4 X
（2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6. 抛物线开口向右，根据点M（2，4） （1）分析：如图 可求焦参数p，进而可求焦点。 设抛物线：y2 = 2px ，p>0 ,将点M代入解得 p = 4 故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)
（a，0）
4

X
椭圆、双曲线方程分别为 由题设得 6= S= 即yp=
1 2
x y + =1 12 + 8 2 8 + 8 2
抛物线：y2 = 8x x y =1 12 - 8 2 8 2 - 8
2 2
|a-m|· |yp| 易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3 xp=
9 8 9 8 ，3 9 8
2 2
y
P
-5
H

3A
O
x
•P
思考：如何化去绝对值号？
P点在直线左侧时，|PH|<|PA|,不合题 如图， 意。故 x > -5
m
y
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离 比它到定直线x= -5的距离少2。
求：动点P的轨迹方程。 [解法一] 轨迹法
-5

P（x，y） x A
3
( x 3) 2 ( y 0) 2 x 5 2
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是好奇这是什么地方，心想会不会是还在做梦，于是捏了自己一把，发现是有痛觉的，但我又担心自己像盗梦空间那样，做梦 做得有真实的感受，于是开始抱着头摇来摇去的。小男孩见我不太正常，于是大喊着“玉儿姐姐”什么的。刚过没多久，门外 又进来一个人，是个女子，但在我眼中看来，年纪撑死就是个高中生。那女生穿着确实简朴，或者我从这木屋就该猜到，他们 并不是有钱人。我稍微从不可思议的穿越中（尽管我不确定是不是穿越）缓过一些神来，才开始有心思打量了一下这一男一女。 这小正太确实长得好可爱，又不缺乏秀气，长大之后肯定是高富帅；这女生长相略显平凡，但是也透漏出一种秀气，我想，大 概是她现在是素颜，没有任何打扮的模样吧。小男孩的衣服稍微比较鲜艳一点，也显得他比较活泼。他见他的姐姐来了，就跑 过去冲着她的耳朵说了些什么。这女生听后，把目光转向我，开口说道：“公子，身体可好了？”我这么一听，倒是听到了一 口流利的普通话，这让我有点小吃惊。这是，我略显慌张，抚了抚自己的喉咙，张口说道：“应该七七八八了吧？”“应该七 七八八？那是何解？”女子一脸疑惑的看着我。我又吃了一小惊，忙改口道：“就是说，我的身体好很多了。”“是这样啊。” 女子像完成了什么事情一样，说完舒了一口气。我一边纳闷这突如其来的改变，一边组织好想问的问题去问这女生。由于知道 我们语言并没什么阻碍，能正常交流，再加上我知道我的谈吐应该更文绉绉一点才会让她听懂，于是我便问道：“姑娘，能问 你几个问题吗？”“嗯。”我索性翻下床来，站到她身旁问起来，“你知道这是哪吗？这是什么年代？这是由皇帝来统治的 吗？”蓦地，又觉得自己问出一连串好夸张的问题，于是又感觉自己有点小失礼了。这时，这女生脸显现一片通红，我这才有 意识到，我刚才问问题的时候靠得她太近了。那也不能怪我，向来问别人问题，就应该靠近点好让对方挺清楚不是吗？“这是 南国，年代是吕王八年。”女子羞涩地回答道。我见状，先有礼貌的向这女生道个歉，说道：“姑娘，刚才失礼了，我只是还 没习惯说话却不靠近别人说啊。”话一讲完，又发现自己说了一些莫名其妙的话，这使我觉得，用这种方式谈吐，真突出一个 烦字啊。女子蓦地转过脸去，脸部抽搐了几下，想必是在偷笑吧。那也难怪，这样的言行是挺让这时代的人感到奇怪搞笑的 第001章 天不收地不留“我的妻，你在哪里？“恍惚间，一个磁性的男声不断在耳畔重复着如此
9 8 ，3
）和（
9 8
，-3 ）
注解！
例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点 M（2，4），它们的对称轴都是坐标 轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线 在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭 圆、双曲线的右顶点连成的三角形的 面积为6.
2
4 Y
M
（xp，yp） P
•再
见！
y 例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离 比它到定直线x= -5的距离少2。

P（x，y） x
求：动点P的轨迹方程。 [解法一] 轨迹法
( x 3) 2 ( y 0) 2 x 5 2
-5
A 3
-3
依题设知 x > -5, [解法二] y 2 =12x 定义法
2 2
以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。
x y 设椭圆方程为 + = 1 （a>b>0) 则 a b
2 2
|AD| + |AC| = 2a，|BD| + |BC| = 2a 所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a 即 8 + 4 2 = 4a
y
4 2， 例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在 线段AB上，且椭圆经过点A，B。
例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点 M（2，4），它们的对称轴都是坐标 轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线 在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程；
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M
（xp，yp） P
2
F 2 O （m，0）
（a，0）
4

X
（2）在抛物线上求一点P，使它与椭 圆、双曲线的右顶点连成的三角形的 面积为6.
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2 2
抛物线：y2 = 8x
x 12 - 8 2
2
椭圆、双曲线方程分别为
x y + =1 12 + 8 2 8 + 8 2
- y =1 8 2 -8
2
（2）分析：如图 椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|， P为抛物线上的一点， 三角形的高为|yp|， 1 |yp| 由题设得 6= S= 2 |a-m|·
-3
2
( x 3) ( y 0) x 3 依题设知 x > -5, y 2 =12x m [解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3
2
n
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。 故，点P的轨迹是以 A 为焦点， 以 n 为准线的抛物线。
•轨迹法
•定义法
2 2
c2 = 6，b2 = a2 c2 = （2 + 2 ）2 - 6 =
4 2
注：重视定义！
•轨迹法
•定义法
•待定系数法
练习1
练习2
静音
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程；