(整理)12对坐标的曲线积分.

§10.2 对坐标的曲线积分

一、概念的引入

设一质点在xoy 面内从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B ,在移动过程中,该质点受

到变力

F x y P x y i Q x y j (,)(,)(,)=+

的作用,其中函数

),(y x P ,),(y x Q 在L 上连续,现计算变力所作的功w 。

在L 上任意地插入n +1个点

A M M M M M M

B i i n n ==--0111,,,,,,,

将L 划分成n 个小弧段,且点i M 的坐标为 ),,2,1(),(n i y x i

i =。

由于

弧M i M i -1光滑且很短,可用有向线段

),(111----=∆-=∆⋅∆+⋅∆=i i i i i i i i i i y y y x x x j y i x M M

来近似地代替它,其中,

∆x i ,∆y i 分别是弧M i M i -1在坐标轴上的投影。

又因为函数

P x y (,), Q x y (,)在L 上连续,可用弧M i M i -1上任意一点

(,)

ξηi i 处的力 F i i P i i i Q i i j

(,)(,)(,)ξηξηξη=+

来近似地代替该小弧段上的变力。

质点沿有向小弧段弧M i M i -1移动时,变力所作功可近似地取为

∆w F i i M M i i i

≈⋅-

(,)ξη1

=+P i i x Q i i y i i

(,)(,)ξηξη∆∆

从而

w w P i i x Q i i y i i n

i i

i n

=≈+==∑∑∆∆∆1

1

(,)(,)ξηξη

为得到w 的精确值,只需令λ→0,(λ是这n 个小弧段长度的最大者),对上述和式取极

限。

即

w P i i x Q i i y i i

i n

=+→=∑lim (,)(,)λξηξη01

∆∆ (1)

(1)式右端和式的极限是又一类新的和式极限, 为此, 我们引入对坐标的曲线积分概念。

【定义】设

L 为xoy

面内从点

A 到点B

的一条有向光滑曲线弧, 函数

P x y (,),Q x y (,)在L 上有界,用L 上的n +1个点

A M x y M x y M n x n y n M n x n y n B

=---=000111111(,),(,),,(,),(,)

将L 分成n 个有向小弧段

弧M i M i

i n -=112(,,,) ,设

∆∆x x x y y y i i i i i i =-=---11,,

λ是这n 个小弧段长度的最大者

任取点

(,)ξηi i M i M i ∈-弧1

如果极限

lim (,)λξη→=∑01

P i i x i

i n

∆ 存在, 则此极限值就叫做函数

P x y (,)在有向曲

线弧L 上对坐标x 的曲线积分，记作 P x y dx

L

(,)⎰。

类似地,如果极限

lim (,)λξη→=∑01

Q i i y i

i n

∆存在,则此极限值就叫做函数

Q x y (,)在有向曲线弧L 上对坐标y 的曲线积分,并记作Q x y dy

L

(,)⎰。

即 P x y dx P i i x L

i i n

(,)lim (,)⎰∑=→=λξη0

1∆

Q x y dy Q i i y L

i i n (,)lim (,)⎰∑=→=λξη0

1

∆

其中:

P x y (,),Q x y (,)叫做被积函数,L 叫做积分弧段。

注记:

1、对坐标的曲线积分P x y dx

L

(,)⎰中的dx 是有向弧段ds 在x 轴上的投影, 它的值可

正也可负。这与对弧长的曲线积分P x y ds

L

(,)⎰中的ds 恒为正值是有区别的。

2、应用中经常出现

P x y dx Q x y dy

L

L

(,)(,)⎰⎰+

这种形式,今后,可将之简记成

P x y dx Q x y dy

L

(,)(,)+⎰

从而,变力

F x y P x y i Q x y j (,)(,)(,)=+沿有向曲线L 所作功可表成

w P x y dx Q x y dy

L

=+⎰(,)(,)

3、上述定义可推广到积分曲线弧为空间有向曲线弧Γ的情形

P x y z dx P x i i i i i n

(,,)lim (,,)Γ

∆⎰∑=→=λξηζ01

Q x y z dy Q y i i i i i n

(,,)lim (,,)Γ

∆⎰∑=→=λξηζ01

R x y z dz R z i i i i i n (,,)lim (,,)Γ

∆⎰∑=→=λξηζ0

1

并且 P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

(,,)(,,)(,,)Γ

Γ

Γ

⎰⎰⎰++ 可简记成形式

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

(,,)(,,)(,,)++⎰Γ

4、对坐标的曲线积分存在定理

若

P x y (,),Q x y (,)在有向光滑曲线弧L 上连续,则

P x y dx L

(,)⎰ , Q x y dy

L

(,)⎰

都存在。

这一定理可类似地推广到空间曲线的情形。

二、对坐标曲线积分的性质

1、若将L 分成L 1与L 2, 且L 1,L 2的方向由L 的方向所决定的,则

Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy

L

L L +=+++⎰⎰⎰1

2

2、设L 是有向曲线弧,而L -

是与L 方向相反的有向曲线弧,则

Pdx Qdy Pdx Qdy

L L

+=-+-

⎰⎰

这一性质表明:对坐标的曲线积分应特别注意积分曲线弧的方向。 3、若

α,β是常数,则

αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰Pdx Qdy Pdx Qdy

L

L

L