最新高考数学函数的奇偶性复习课件ppt

探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备 条件: 一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题 是有利的; 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶 性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)) 是否成立.
x 2 (2) f (x) 0
x 2
(x 1) (| x |1) . (x 1)
解
(1)∵
4
x2
0 ,
| x 3 | 3
∴-2≤x≤2且x≠0,
∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
4x2 4x2
f (x)
.
x33 x
又f (x)
4(x)2
4x2 ,
x
x
∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的 函数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来 寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称 的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确 定的奇偶性.
知能迁移1 判断下列函数的奇偶性:
(1) f (x)
4 x2 ;
| x3| 3
4.已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数,
那么a+b的值是
A. 1 B. 1
C. 1
3
3
2
D. 1 2
（B ）
解析
依题意得
a b
1 0
2a,a b
1 3,
0
ab101. 33
5.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sin x+1 (x∈R),
若f（a）=2，则f（-a）的值为
（B ）
A.3
B.0
C.-1 D.-2
解析 设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数.
∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2，
∴g（a）=1，
∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.
题型分类 深度剖析
题型一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性：
lg1x f (x), 1 x
故原函数是奇函数.
(2) 1 x ≥0且1-x≠0 -1≤x<1, 1 x
定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.
(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 定义域关于原点对称, 又当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时,-x>0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0, 故f(-x)=x2+x=f(x), 故原函数是偶函数.
(2)当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1, ∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x). 当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1, ∴f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x). 当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1, ∴f(-x)=0=f(x). 综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数.
题型二 函数的奇偶性与单调性
【例2】 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=
f(xБайду номын сангаас+f(y).
(1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果x为正实数，f（x）<0,并且f(1)= 1 ,
2 f(x)在区间［-2，6］上的最值.
试求
思维启迪 (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f(x)+f(-x)=0;
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值 为-3.
方法二 设x1<x2,且x1,x2∈R. 则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0. 即f(x)在R上单调递减.
3.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性__相__同__,
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_相__反___(填 “相同”、“相反”）. (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是__奇__函__数__,两个奇函数的积是偶 函数； ②两个偶函数的和、积是__偶__函__数___； ③一个奇函数，一个偶函数的积是__奇__函__数___.
(2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇
偶性的应用.
(1)证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称. ∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, ∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. ∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. （2）解 方法一 设x,y为正实数， ∵f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴f（x+y）-f（x）=f（y）. ∵x为正实数，f（x）<0, ∴f(x+y)-f(x)<0,
∴f(x+y)<f(x). ∵x+y>x, ∴f(x)在（0，+∞）上是减函数. 又∵f（x）为奇函数，f（0）=0， ∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数. ∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值. ∵f(1)= 1 , ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
2 f(6)=2f(3)=2[f（1）+f（2）]=-3.
(1)f (x)lg1x; 1x
(2)f(x)(x1) 1x; 1x
(3)f
(x)
xx22
x(x0), x(x0).
思维启判迪断函数的奇偶性,应先检查定义域是
否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否
相等或相反.
解 (1) 1x01x1,定义域关于原点对称. 1x
又f (x) lg1 x lg(1x)1 1x 1 x
2011届高考数学函数的奇 偶性复习
2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是:
（1）考查定义域是否关于__原__点__对__称____； （2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：
若f（-x）=_-_f_（__x_）_，则f（x）为奇函数； 若f（-x）=__f_（__x_）__，则f（x）为偶函数； 若f（-x）=_-_f_（__x_）_且f（-x）=_f_（__x_）___,则f(x)既是 奇函数又是偶函数； 若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.