高等数学第九章9-6

法线方程为
x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 曲面在M处的法向量即 曲面在 处的法向量即
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号） 求法向量的方向余弦时注意符号） 符号
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
上式分母同除以 ∆t ,
M
x
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程 切线的过程 考察割线趋近于极限位置
x − x 0 y − y0 z − z 0 , = = ∆x ∆y ∆z ∆t ∆t ∆t
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 3
当M ′ → M ,即∆t → 0时 ,
曲线在M处的切线方程 曲线在 处的切线方程
法平面方程为
( x − x0 ) + φ ′( x0 )( y − y0 ) + ψ ′( x0 )( z − z0 ) = 0.
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 6
F ( x, y, z ) = 0 2.空间曲线方程为 空间曲线方程为 , G ( x , y , z ) = 0
cos β =
− fy
2 x 2 y
1+ f + f 1 cos γ = . 2 2 1 + fx + fy
,
其中
f x = f x ( x 0 , y0 )
f y = f y ( x 0 , y0 )
上一页 下一页 15
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
例 3
求旋转抛物面 z = x 2 + y 2 − 1在点( 2,1,4)
第六节 微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
上一页
下一页
1
一、空间曲线的切线与法平面
x = φ (t ) 设空间曲线的方程 y = ψ ( t ) z = ω (t )
(1)
(1)式中的三个函数均可导. (1)式中的三个函数均可导. 式中的三个函数均可导
的全微分， z = f ( x , y ) 在( x0 , y0 ) 的全微分，表示 曲面 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的 切平面上的点的竖坐标的增量. 切平面上的点的竖坐标的增量
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 14
表示曲面的法向量的方向角， 若α 、 β 、γ 表示曲面的法向量的方向角， 并假定法向量的方向是向上的， 并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 是锐角，则法向量的方向 轴的正向所成的角γ 是锐角，则法向量的方向 余弦为 余弦为 − fx cosα = , 2 2 1 + fx + fy
解 当 t = 0时， x = 0, y = 1, z = 2,
′ = e t cos t , y′ = 2 cos t − sin t , z′ = 3e 3t , x
⇒ x′(0) = 1,
y′(0) = 2, z′(0) = 3,
x −0 y −1 z − 2 切线方程 , = = 1 2 3 法平面方程 x + 2( y − 1) + 3( z − 2) = 0,
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t = t0 ;
z
•
•
M′
M ′ ( x 0 + ∆ x , y0 + ∆ y , z 0 + ∆ z ) 对应于 t = t0 + ∆t .
x
o
上一页
M
y
2
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
下一页
割线 MM ′ 的方程为
z
•
•
M′
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = ∆x ∆y ∆z
由此得切向量
T = {1, 0,−1},
x −1 y + 2 z −1 , = = 所求切线方程为 1 0 −1
法平面方程为 ( x − 1) + 0 ⋅ ( y + 2) − ( z − 1) = 0,
⇒
x−z=0
上一页 下一页 9
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
二、曲面的切平面与法线 设曲面方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 . = = φ ′( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′ ( t 0 )
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T = {φ ′( t 0 ),ψ ′( t 0 ),ω ′( t 0 )}
法平面： 点且与切线垂直的平面. 法平面：过M点且与切线垂直的平面 点且与切线垂直的平面
dz dy y + z = −x dx dx ⇒ dy + dz = −1 dx dx
dy z − x , = dx y − z
dz x − y , = dx y − z
上一页 下一页 8
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
切平面方程(2) 切平面方程
− 2( x + 1) − 8( y + 2) − 12( z + 2) = 0 ⇒ x + 4 y + 6 z = −21
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 19
三、小结
空间曲线的切线与法平面
（当空间曲线方程为一般式时，求切向 当空间曲线方程为一般式时， 量注意采用推导法 推导法） 量注意采用推导法）
n = { Fx ( x0 , y0 , z0 ), F y ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 12
特殊地： 特殊地：空间曲面方程形为 z = f ( x , y ) 令 F ( x, y, z ) = f ( x, y) − z, 曲面在M处的切平面方程为 曲面在 处的切平面方程为
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 13
全微分的几何意义
因为曲面在M处Fra Baidu bibliotek切平面方程为 因为曲面在 处的切平面方程为
z − z0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 )
切平面 上点的 竖坐标 的增量
函数z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )的全微分
处的切平面及法线方程. 处的切平面及法线方程
解
f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 1,
n ( 2 ,1, 4 ) = { 2 x , 2 y , − 1} ( 2 ,1, 4 )= {4, 2,−1},
切平面方程为 4( x − 2) + 2( y − 1) − ( z − 4) = 0,
⇒ 4 x + 2 y − z − 6 = 0,
法线方程为
x − 2 y −1 z −4 . = = 4 2 −1
上一页 下一页 16
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
例 4
求曲面 z − e z + 2 xy = 3 在点 (1,2,0) 处的
切平面及法线方程. 切平面及法线方程
F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3, 解 令
即 x + 2 y + 3 z − 8 = 0.
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 5
特殊地： 特殊地：
y = φ ( x) , 1.空间曲线方程为 空间曲线方程为 z = ψ ( x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 , = = 1 φ ′( x 0 ) ψ ′( x 0 )
⇒ 2 x + y − 4 = 0,
法线方程
x −1 y − 2 z −0 . = = 2 1 0
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 17
例 5
求曲 面 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 平 行于 平面
x + 4 y + 6 z = 0 的各切平面方程 的各切平面方程.
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + F y ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 11
通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线. 称为曲面在该点的法线
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4, Fy′ (1, 2 , 0 ) = 2 x (1, 2 , 0 ) = 2,
Fz′ (1, 2 , 0 ) = 1 − e z (1, 2 , 0 ) = 0,
切平面方程 4( x − 1) + 2( y − 2) + 0 ⋅ ( z − 0) = 0,
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 18
是曲面上的切点， 因为 ( x0 , y0 , z0 ) 是曲面上的切点， 满足方程 ∴ x0 = ±1, 所求切点为 (1,2,2), ( −1,−2,−2), 切平面方程(1) 切平面方程
2( x − 1) + 8( y − 2) + 12( z − 2) = 0 ⇒ x + 4 y + 6 z = 21
= 0.
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 7
例 2 求曲线 x 2 + y 2 + z 2 = 6 ， x + y + z = 0 在 处的切线及法平面方程. 点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程
直接利用公式; 解 1 直接利用公式
解 2 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得 求导并移项，
F ( x, y, z ) = 0
在曲面上任取一条通 过点M的曲线 过点 的曲线
n
M
T
x = φ (t ) Γ : y = ψ ( t ), z = ω (t )
曲线在M处的切向量 曲线在 处的切向量 T = {φ ′( t0 ), ψ ′( t0 ), ω ′( t 0 )},
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 10
令 n = { Fx ( x0 , y0 , z0 ), F y ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 则 n⊥T , 由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条 曲线， 垂直， 曲线，它们在 M 的切线都与同一向量n 垂直，故 曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一 平面上， 切平面. 平面上，这个平面称为曲面在点 M 的切平面 切平面方程为
φ ′( t 0 )( x − x0 ) + ψ ′( t 0 )( y − y0 ) + ω ′( t 0 )( z − z0 ) = 0
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 4
例1
求曲线Γ : x = ∫0 e cos udu ， y = 2 sin t
u
t
+ cos t , z = 1 + e 3 t 在t = 0处的切线和法平面方程 处的切线和法平面方程.
f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) = z − z0 ,
曲面在M处的法线方程为 曲面在 处的法线方程为
x − x0 y − y0 z − z0 . = = f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) −1
解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点 为曲面上的切点, 切平面方程为
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
依题意，切平面方程平行于已知平面， 依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 , ⇒ 2 x 0 = y0 = z 0 . = = 1 4 6
x − x0 y − y0 z − z0 , = = 切线方程为 Fy Fz Fz Fx Fx Fy G y Gz 0 Gz G x 0 G x G y 0
法平面方程为
Fy Gy Fz Gz 0 ( x − x0 ) + Fz Gz Fx Gx 0 ( y − y0 ) + Fx Gx Fy Gy 0 ( z − z0 )