等差数列前n项和性质PPT幻灯片

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(an an1)(an an1 4) 0 {an}是正数数列,an an1 0
an an1 4 0即an an1 4
由等差数列的定义,{an}是等差数列
10
(2)由(1)知d=4,a1
=S1 =
1 8
(a1

2)2 解得a1

2
an a1 (n 1)d 2 (n 1) 4 4n 2
已知等差数列的前n项和Sn，如何求an ? 利用Sn与an的关系:
an
=
SS1n,
n
1 Sn1
,
n

2
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二.巩固练习
1.已知数列{an}的前项和Sn =2n2 -23n, （1）求其通项公式an； （2）求Sn的最值。
2.在等差数列{an }中，a1 =25,S17 =S9 , 求Sn的最值。
1 bn 2 an 30 2n 31
易知数列{bn }是以为b1 =-29首项,以b2 -b1 =2为公差的等差数列,
其前n项和Sn

29n

n(n 1) 2
2

n2
30n

(n
15)2

225
由二次函数的性质可知当n 15时,(Sn )min 225
11
(3)由(2)bn 2n 31,首项b1 29,公差d 2, 当n 15时,bn 0;当n 16时,bn 0,
(1) 由
Sn

d 2
n2

(a1

d )n 2
利用二次函
数配方法求得最值时n的值.
(2) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ＜ 0，求得n的值； 当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1 ＞ 0，求得n的值. 4
3.等差数列前n项和的性质（2）
当n 1时，a1 21 S1
an 4n 25(n N )
(2)
Sn

2n2

23n

2(n2

23 2
n)

2(n

23)2 4

529 8
由二次函数的性质可知当n=6时,(Sn )min 66
7
2.解
:
(法一)由S17
=S9
,
得25
17

17

(17 2

6
1.已知数列{an}的前项和Sn =2n2 -23n, （1）求其通项公式an；
（2）求Sn的最值。
1.解：(1)由题意可知：
当n 2时，an Sn Sn1 2n2 23n [2(n 1)2 23(n 1)] 2n2 2(n 1)2 23n 23(n 1) 4n 25
等差数列前n项和性质
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一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式：
Sn

n(a1 2
an )
Sn

na1

n(n 1)d 2
2
2.等差数列前n项和的性质（1）
由Sn

na1

n(n
1)d 2
可化成
Sn

d 2
n2

(a1

d 2
)n
当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
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结论：
等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
9
(1)证明:当n

2, an

Sn

Sn1

1 8
(an

2)2

1 8
(an1

2)2

1 8
(an2

4an

4

a2 n1

4an1

4)
8an

an2

a2 n1

4an

4an1即an2

a2 n1

4an

4an1

0
(an 2

a2 n1
)

4(an

an 1 )
当n 15时,Tn = b1 b2 ... bn (b1 b2 ... bn )
Sn 30n n2
当n 16时, Tn b1 b2 ... b15 b16 ... bn
(b1 b2 ... b15 ) b16 b17 ... bn
2(b1 b2 ... b15 ) (b1 b2 ... b15 b16 b17 ... bn )
2S15 Sn 2 (225) n2 30n n2 30n 250
Tn

30n n2 , n 15 n2 30n 450, n

4k
2

2k
d

2ka1

6k 2 2
2k
d

2ka1

(3k 2

k)d
而2（S2k

Sk）=2（ka1

3k
2 2
k
d）
2ka1

(3k
2

k
)d
Sk (S3k S2k )
结论成立。
14
例1：在等差数列{an}中，S10 =10,S20 =40,求S30
0得
n n

13.5 12.5
当n 13, (Sn )max 169
8
3. 已知数列{an}是正数数列，且
Sn

1 8
(an
2)2 (n
N)
(1)求证{an}是等差数列 ；
(2)若
bn
=
1 2
an
-30，则数列{bn
}的前n项和有最什么值，
并求该最值；
（3）求数列{ bn }的前n项和Tn
1) d 2
]

ka1

(4k 2

2k 2
k
2

k)
d

ka1

Leabharlann Baidu
3k 2 2
k
d
又
Sk

(S3k

S2k
)

k
a1

k
(k
1) d 2
[3k
a1

3k
(3k 1) d 2
2k

a1

2k

(2k 1) 2

d
]

2ka1

k
2

k

9k
2
3k 2
16
12
4.等差数列前n项和的性质（3） 等差数列连续的k项之和也成等差数列。即 Sk,S2k -Sk,S3k -S2k,......也成等差数列。 (公差为k2 d)
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证明：设首项为a1，公差为d，
S2k

Sk

2k
a1

2k
(2k 1) d 2
[k
a1

k
(k
1)
d
25 9 9 (9 1) d解得d 2 2
Sn

25n

n (n
1) (2) 2

n2

26n

(n 13)2
169
由二次函数的性质知,当n 13, (Sn )max 169
(法二)先求出d=-2(同法一)
a1

25

0,由
an 25 (n 1) (2) an1 25 n (2) 0