无穷级数总结

无穷级数总结

一、概念与性质

1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和

数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散•

n

2•性质

①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性；

n 1 n 1

②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ；

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散；

n 1 n 1 n 1

若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定；

n 1 n 1 n 1

③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；

④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.

n 1

注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；

②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.

⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ；

n 1 n

注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；

②若lim U n 0，则U n未必收敛；

n n 1

③若U n发散，则lim U n 0未必成立. n

n 1

二、常数项级数审敛法

1.正项级数及其审敛法

①定义：若U n 0，则U n称为正项级数•

n 1

②审敛法：

（ii ） 比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,），

n 1

n 1

川

则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•

A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收

敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散；

1

B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则

U n 收敛；若

n 1

1

（ U n （n n

C. 极限形式：

U n 与 V n 有相同的敛散性.

n 1

n 1

注：常用的比较级数：

①几何级数：

n 1 ar

r 1 1 r ・

n 1

发散

r 1

②p 级数：

1收敛

P 1时

n 1

n p

发散

P 1时， ③调和级数:

1

1 1 1

发散.

n 1 n

2

n

（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若

n 1

1，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然

n

n 1 n n 1 n

充要条件：正项级数

U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界

），贝U Un 发散.

n 1

1,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨 ），则

1 n

V n

①lim

n

a n 1 a

n

r 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1

n

a

n r 1，则 a n 发散.

n 1

注：若lim

n

a n 1 a

n

lim a n^ 1, lim n a n 1，但丄发散，而g收敛.

n a n n■'n 1 n n 1 n2

n ___

(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，』m ■, a n，若 1 ,

n 1 n

级数收敛，若1则级数发散.

(v)极限审敛法：设u n o，且lim n p u n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级

n n

数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n

敛.(书上P317-2- (1))

注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.

2.交错级数及其审敛法

①定义：设U n 0(n 1,2J||)，则(1)n 1U n称为交错级数.

n 1

②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1u n，若u n u n 1且lim u n0，

n 1 n

贝U ( 1)n1u n收敛.

n 1

注：比较u n与u n 1的大小的方法有三种：

①比值法，即考察也是否小于1；

u n

②差值法，即考察u n u n 1是否大于0;

③由u n找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.

3.一般项级数的判别法：

①若u n绝对收敛，则u n收敛.

n 1 n 1

②若用比值法或根值法判定|u n |发散，则u n必发散.

n 1 n 1

、幕级数

1. 定义： a n X n

称为幕级数.

n 0

2. 收敛性

有X 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n X n

在X !处发散，则其在满足x X !

n 0

的所有X 处发散. ②收敛半径

(i) 定义：若幕级数在X X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在

一个正数R ，使得①当X X 0 R 时，幕级数收敛；②当

XX 。R 时，幕级数发散；R 称为幕级数的收敛半径.

(ii) 求法：设幕级数 a n X n

的收敛半径为R ，其系数满足条件Jim a n1

| l ，

n 0

n 1

或lim n

n

a n I ，则当 0 I

时，R 1

；当

I 0 时，R

当I 时，R 0 .

注：求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式，后一个则须分奇、 偶项(有时会出现更复杂的情况)分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出 现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.

(iii )收敛半径的类型

A. R 0，此时收敛域仅为一点；

B. R

，此时收敛域为(，)；

C. R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间. 3. 幕级数的运算(略) 4. 幕级数的性质

①若幕级数的收敛半径R 0，贝U 和函数S(x)

a n X n

在收敛区间(R, R)连续.

n 0

① 阿贝尔定理：设幕级数 a n X n

在X o

n 0

0处收敛，则其在满足X I X o 的所