高中数学必修五 解三角形的实际应用举例

1．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视 线和目标视线的夹角．目标视线在水平
视线上___方__时叫仰角，目标视线在水平 视线_下__方__时叫俯角，如图所示．
2．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角，如B点的方位角为α(如图所示)． 3．方位角的其他表示——方向角
(1)正南方向：指从原点O出发的经过目 标的射线与正南的方向线重合，即目标 在正南的方向线上．依此可类推正北方 向、正东方向和正西方向． (2)东南方向：指经过目标的射线是正东 和正南的夹角平分线(如图所示)．
想一想：用三角形知识解决高度，长度，角度等问题的关键是 什么？ 提示 关键是将要解的问题归结到一个或几个三角形中，通过 合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后求解．
4． 解三角形应用题的一般步骤
5．用三角形解实际问题的技巧 有些实际问题常抽象成解三角形问题，一般有以 下两种类型： (1)已知量与未知量集中在一个三角形中可用正弦 定理或余弦定理直接求解． (2)已知量与未知量涉及两个(或多个)三角形时， 在已知条件下，弄清哪个三角形可解，为解其他 三角形需求可解三角形的哪个边(角)．有时需设 出未知量，由已知条件列出方程，然后解方程得 出所要求的解．
§3 解三角形的实际应用举例
正弦定理 a b c sin A sin B sin C
余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A
sin A:sin B:sinC a :b:c
b2 c2 a2 cos A
2bc
b2 a2 c2 2ca cos B
cos B c2 a2 b2 2ca
例 3：a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上点 A 处有一 个水声监测点，另两个监测点 B,C 分别在 A 的正东方 20km 和 54km 处，某时刻，监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波，8s 后监 测点 A，20s 后监测点 C 相继收到这一信号，在当时气象条件下， 声波在水中的传播速度是 1.5km/s.
D1
A1
A
C
D
C1
1.52m
C
D1 D
B
求A1B
A1
A
h
分析：如图所示，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m, 所以只要求出A1B即可.
解：在 BC1D1 中，
BD1C1 180 60 120 ， C1BD1 60 45 15 ， 由正弦定理得： C1D1 BC1 ，
（1）设 A 到 P 的距离为 xkm，用 x 表示 B,C 到 P 的距离，并 求 x 的值
（2）求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离（结果精确到 0.01km）
a
D
P
A B
北 C
分析：（1）PA,PB,PC 长度之间的关系可以通过收到信号的 先后时间建立起来 （2）作 PD a ，垂足为 D，要求 PD 的长，只需要求出 PA 的长和 cos APD ， 即 cos PAB的值，由题意， PA PB, PC PB 都是定值，
正弦定理、余弦定理是两个重要的定理.在解决与三 角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用.下面举例说 明.
例1 自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杠 BC的长度（如图所示）.已知车厢的最大仰角为60（指车 厢AC与水平线夹角），油泵顶点B与车厢支点A之间的距离 为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m,计 算BC的长度（结果精确到0.01ｍ）.
cos PAB PA2 AB2 PB2 x2 202 (x 12)2 3x 32
2PA·AB
2x 20
5x
同理： cos PAC 72 x 3x
由于： cos PAB cos PAC
即： 3x 32 72 x
5x
3x
解得： x 132 (km) 7
（2）作 PD a ，垂足为 D，在 RtPDA 中，
可求得BS≈7.7海里.
S B ？45
115
16
20
答：灯塔S和B处的距离为7.7海里.A
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 有关的实际问题. 2.了解常用的相关测量术语. 3.体会数学应用题建模的过程.
分析转化
数学问题（画出图形）
数学结论
解三角形问题
1.我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从
A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°
的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛
间的距离，请你算算看.
C
解 : A 60, B 75,C 45
由正弦定理得 :
A
BC 10 sin 60 sin 45
1.40m
答：顶杆BC约长 1.89m．
60
A
620 D
1.95m B
例2 如图，两点Ｃ，Ｄ与烟囱底部在同一水平直线上，在
点Ｃ1 ，Ｄ1，利用高为1.5ｍ的测角仪器，测得烟囱的仰 角分别是 ＝45°和 ＝60°, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.
计算烟囱的高AB(结果精确到0.01m).
B
测量高度问题
C1
因此，只需要分别在 PAB 和 PAC 中，求出 cos PAB， cos PAC 的表达式，建立方程即可.
解：（1）依题意， PA PB 1.58 12(km) ， PC PB 1.5 20 30(km)
因此： PB (x 12)km， PC (18 x)km ，
百度文库
在 PAB 中， AB 20km
PD PAcosAPD PAcosPAB
x
3x
32
3 132 7
32
17.71(km)
5x
5
答：静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为17.71km
1、解决实际应用问题的关键思想方法是什么？
答：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想. 2、解决实际应用问题的步骤是什么？
实际问题 检 验
c2 a2 b2 2ab cosC
cos C a2 b2 c2
解三角形（六个元素）—知三求三 C
2ab
公式运用——知三求一
b
a
B Ac
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素.
2、要明确题目中一些名词、术语的意义.如视角，仰角， 俯角，方位角等等. 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未 知集中到一个三角形中解决.
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C
(1) 已知两角和一边, 求其他元素;
A
B
C
(2) 已知两边和一边对角,
求其他元素.
A
B
C
余弦定理 c2 a2 b2 2ab cosC
(1) 已知三边 , 求三个角;
A
B
C
(2) 已知两边和它们的夹角, 求其他元素.
A
B
C
自学导引
BC
10 sin 45
sin
60
5
6 (海里)
60° 75°
B
2.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北
航行,在A处看灯塔S在船的北偏东20°, 30
分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北
偏东65°方向上,求灯塔S和B处的距离.
（保留到0.1）
解：AB=16，由正弦定理知：
BS sin 20
16 sin 45
C
60
D A
620
B
问 题 转 化 为 ： 已 知 ABC 的 两 边 AB=1.95m,AC=1.40m, 夹 角 BAC 6620 ，求 BC 的长.
解：由余弦定理，得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA
1.952 1.402 21.951.40cos 6620
≈3.571，
C
∴BC≈1.89(m)．
sin C1BD1 sin BD1C1
BC1
C1D1 sin BD1C1 sin C1BD1
12 sin 120 sin15
(18
2 6
6)m
从而：
A1B
2 2
BC1
18
6
3 28.392m
因此： AB A1B AA1 28.392 1.5 29.892 29.89m
答：烟囱的高约为 29.89m .