初一数学复习知识点专题讲解与练习3---从算术到代数
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（ 1 ， 2 ， 3 ），（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ），…. 321 4321 54321
能力训练
A级
1.已知等式：2＋ 2 ＝22× 2 ，3＋ 3 ＝32× 3 ，4＋
4
＝42×
4
，…，，10
a ＋＝
3
3
8
8
15
15
b
102× a （a，b 均为正整数），则 a＋b＝___________________. b
【例 5】 化简 9192L39× 9192L39 +11992L39 .
n个
n个
n个
（江苏省竞赛试题）
解题思路：先考察 n＝1，2，3 时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标
更明确.
3 / 13
【例 6】观察按下列规律排成的一列数：
1 ， 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 1 ，…，（*） 12 1 321 4 3 2 1 54 32 16 （1）在（*）中，从左起第 m 个数记为 F(m)＝ 2 时，求 m 的值和这 m 个数
（1）通过计算，探索规律. 152＝225 可写成 100×1×（1＋1）＋25； 252＝625 可写成 100×2×（2＋1）＋25； 352＝1225 可写成 100×3×（3＋1）＋25；
7 / 13
452＝2025 可写成 100×4×（4＋1）＋25； 752＝5625 可写成______；
1.任意性 即字母可以表示任意的数. 2.限制性 即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义. 3.确定性 即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定. 4.抽象性 即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.
例题与求解 【例 1】研究下列算式，你会发现什么规律： 1×3＋1＝4＝22 2×4＋1＝9＝32
852＝7225 可写成______； （2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出 19952＝______.
（福建省三明市中考试题） 2.已知 12＋22＋32＋…＋n2＝ 1 n(n＋1)(2n＋1)，计算：
6 （1）112＋122＋…＋192＝_____________________；
例 5 解法 1: n = 1 时, 9 × 9 + 19 = 81 + 19 = 100 = 102 ;
n = 2 时, 99 × 99 + 199 = (100 −1) × 99 +199 = 9900 − 99 +199 = 10000 = 104 ,
猜想: 9192nL个39 × 9192nL个39 + 19192nL个39 = 102n 个, 计算过程类似于 n = 2 9192nL个39 × 9192nL个39 +19192nL个39 = (10n −1) × 9192nL个39 + 19192nL个39 = 9192nL个390102nL个30 − 9192nL个39 +19192nL个39 = 102n 解法 2: n = 1 时, 9 × 9 +19 = 9 × 9 + 10 + 9 = (9 × 9 + 9) +10 = 9 ×10 +10 = 10 ×10 = 102
（）
A．
c2 a 2b
B． c 2 ab
C．
ab c2
D．
a 2b c2
(“希望杯”邀请赛试题)
8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小
1
1
组的人数是乙班未参加人数的 ，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的 ．问
3
5
甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？
9.将自然数 1，2，3，…，21 这 21 个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有 相邻的三个数，它们的和不小于 33.
(湖北省武汉市竞赛试题)
4 / 13
2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有 n （n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为 s，按此规律推断 s 与 n 之间的关系是 ______________.
n＝2 s＝4
n＝3 s＝8
n＝4 s＝12
(山东省青岛市中考试题)
3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）， 当且仅当 a＝c 且 b＝d 时，（a，b） ＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p， q）＝（5，0），则 p＋q＝________．
）
A.1627384950
B. 2345678910
C. 3579111300
D.
4692581470
（江苏省竞赛试题） 解题思路：设自然数从 a＋1 开始，这 100 个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2) ＋ …＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.
【例 3】设 A＝ 12 + 22 1´ 2
初一数学复习知识点专题讲解与练习 专题 03 从算术到代数
阅读与思考 算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”
和“运算”的基础上发展起来的. 用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发
展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的 一个飞跃.用字母表示数有如下特点：
例2 A
例 3 原式= 2 + (1 − 1) + 2 + (1 − 1) + 2 + (1 − 1) + L + 2 + ( 1 − 1 ) + 2 + ( 1 − 1 )
2
23
34
1003 1004
1004 1005
= 2 ×1004 + (1 − 1 )
1005
故其整数部分为 2008
例 4 设图③中含有 3p 个正方形.
+
22 + 32 2´ 3
+
32 + 42 3´ 4
10032 + 10042 ＋…＋
1003´ 1004
10042 + 10052 ＋
1004´ 1005
，求 A
的整数部分.
解题思路：从分析 A 中第 n 项 n 2 + (n + 1)2 的特征入手. n ? (n 1)
（北京市竞赛试题）
2 / 13
（1）这若干名检验员 1 天检验多少个成品（用含 a、b 的代数式表示）； （2）试求出用 b 表示 a 的关系式； （3）若 1 名质检员 1 天能检验 4 b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？
5 （广东省广州市中考试题）
B级 1. 你能很快算出 19952 吗？ 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为 5 的自然数的平方，任意一个个位数为 5 的自然数可写成（10·n＋5）（n 为自然数），即求（10·n＋5）2 的值（n 为自然数）， 分析 n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在 下面的空格内填上你的探索结果）.
么 x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3 的平均数是（
A. a + b + c 3
B. a + b - c 3
C. a＋b－c
） D. 3(a＋b－c)
(希望杯邀请赛试题)
8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两
块草坪的周长相同，那么它们的面积 S1、S2 的大小关系是（ ）
(浙江省湖州市数学竞赛试题) 4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形 中有黑色瓷砖______块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖______块（含 n 代数式表示）．
（广东省中考试题）
-= 5.如果 a 是一个三位数，现在把 1 放在它的右边得到一个四位数是（ ）
A.1000a＋1
B. 100a＋1
C. 10a＋1
D. a＋1
(重庆市竞赛试题) 6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子
5 / 13
是（ ） A. a10＋b19
B. a10-b19
C. a10-b17
Fra Baidu bibliotek
D. a10-b21
(四川省眉山市竞赛试题)
7.有三组数 x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是 a，b，c，那
（重庆市竞赛试题） 5.A，B 两地相距 S 千米，甲、乙的速度分别为 a 千米/时、b 千米/时（a＞b），甲、 乙都从 A 地到 B 地去开会，如果甲比乙先出发 1 小时，那么乙比甲晚到 B 地的小时数
是（ ）
A．
s a-
(s b
+ 1)
D．
s b
-
(s a
-
1)
B．
s b
-
(s a
+
1)
C．
s a-
(2)22＋42＋…＋502＝__________________.
3.已知
n
是正整数，an＝1×2×3×4×…×n，则
a1 a3
＋
a2 a4
a2010 ＋…＋
a2012
a2011 ＋＝
a2013
_______________.
(“希望杯”邀请赛训练题) 4.已知 17 个连续整数的和是 306，那么，紧接着这 17 个数后面的那 17 个整数的 和为__________.
(1) 由 3m + 1 = 5n + 2 ,得 m = 5n + 1
3
(2) 由 a = 3m +1 = 5n + 2 = 7 p + 3, 得 p = 3m − 2 = 5n −1 , 因 m,n, p 均 是 正 整 数 , 所 以 当
7
7
m = 17, n = 10 时,
p = 7, 此时 a = 3 ×17 + 1 = 52
【例 4】现有 a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成 m 个正方形，按如 图②摆放时可摆成 2n 个正方形.
(1)用含 n 的代数式表示 m； (2)当这 a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求 a 的最小值.
（浙江省竞赛试题）
解题思路：由图①中有 m 个正方形、图②中有 2n 个正方形，可设图③中有 3p 个 正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含 m，n，p 的等式.
下表；
剪裁次数
1
2
3
4
…
n
所得的总数
4
7
…
（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出 33 个扇形面？为什么？
（山东省济南市中考试题）
6 / 13
10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原 a（a＞0）个成品， 且每个每天都生产 b（b＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其 中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产 的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．
(s b
-
1)
6.某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比高 a%，后因市场的变化，该
店把零售价调整原来零售价的 b%出售，那么调价后的零售价是（ ）
8 / 13
A．m（1＋a%）（1－b%）元 C．m（1＋a%）b%元
B．m ⋅ a%（1－b%）元 D．m（1＋a%b%）元
（山东省竞赛试题） 7.如果用 a 名同学在 b 小时内共搬运 c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是
（重庆市竞赛试题）
10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的 数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于 18.若这四个数的乘积是 23 100，求这四个数.
（天津市竞赛试题）
9 / 13
专题 03 从算术到代数参考答案
例 1 n(n + 2) +1 = (n +1)2
A. S1＞ S2
B． Sl＜ S2
（东方航空杯竞赛试题）
C．S1＝S2
D．无法
比较
9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为 4 个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成 4 个小扇形；以后按第二次剪裁
法进行下去． （1）请通过操作，猜想将第 3、第 4 次，…，第 n 次剪裁后扇形面的总个数填入
1 / 13
3×5＋1＝16＝42 4×6＋1＝25＝52 … 请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________
(山东菏泽地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般 规律，然后用代数式表示.
【例 2】下列四个数中可以写成 100 个连续自然数之和的是（
2001 的积.
（2）在（*）中，未经约分且分母为 2 的数记为 c，它后面的一个数记为 d，是否
存在这样的两个数 c 和 d，使 cd＝2001000，如果存在，求出 c 和 d；如果不存在，请
说明理由. 1 12
解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（ ），（ ， ）， 1 21
能力训练
A级
1.已知等式：2＋ 2 ＝22× 2 ，3＋ 3 ＝32× 3 ，4＋
4
＝42×
4
，…，，10
a ＋＝
3
3
8
8
15
15
b
102× a （a，b 均为正整数），则 a＋b＝___________________. b
【例 5】 化简 9192L39× 9192L39 +11992L39 .
n个
n个
n个
（江苏省竞赛试题）
解题思路：先考察 n＝1，2，3 时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标
更明确.
3 / 13
【例 6】观察按下列规律排成的一列数：
1 ， 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 1 ，…，（*） 12 1 321 4 3 2 1 54 32 16 （1）在（*）中，从左起第 m 个数记为 F(m)＝ 2 时，求 m 的值和这 m 个数
（1）通过计算，探索规律. 152＝225 可写成 100×1×（1＋1）＋25； 252＝625 可写成 100×2×（2＋1）＋25； 352＝1225 可写成 100×3×（3＋1）＋25；
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452＝2025 可写成 100×4×（4＋1）＋25； 752＝5625 可写成______；
1.任意性 即字母可以表示任意的数. 2.限制性 即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义. 3.确定性 即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定. 4.抽象性 即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.
例题与求解 【例 1】研究下列算式，你会发现什么规律： 1×3＋1＝4＝22 2×4＋1＝9＝32
852＝7225 可写成______； （2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出 19952＝______.
（福建省三明市中考试题） 2.已知 12＋22＋32＋…＋n2＝ 1 n(n＋1)(2n＋1)，计算：
6 （1）112＋122＋…＋192＝_____________________；
例 5 解法 1: n = 1 时, 9 × 9 + 19 = 81 + 19 = 100 = 102 ;
n = 2 时, 99 × 99 + 199 = (100 −1) × 99 +199 = 9900 − 99 +199 = 10000 = 104 ,
猜想: 9192nL个39 × 9192nL个39 + 19192nL个39 = 102n 个, 计算过程类似于 n = 2 9192nL个39 × 9192nL个39 +19192nL个39 = (10n −1) × 9192nL个39 + 19192nL个39 = 9192nL个390102nL个30 − 9192nL个39 +19192nL个39 = 102n 解法 2: n = 1 时, 9 × 9 +19 = 9 × 9 + 10 + 9 = (9 × 9 + 9) +10 = 9 ×10 +10 = 10 ×10 = 102
（）
A．
c2 a 2b
B． c 2 ab
C．
ab c2
D．
a 2b c2
(“希望杯”邀请赛试题)
8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小
1
1
组的人数是乙班未参加人数的 ，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的 ．问
3
5
甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？
9.将自然数 1，2，3，…，21 这 21 个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有 相邻的三个数，它们的和不小于 33.
(湖北省武汉市竞赛试题)
4 / 13
2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有 n （n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为 s，按此规律推断 s 与 n 之间的关系是 ______________.
n＝2 s＝4
n＝3 s＝8
n＝4 s＝12
(山东省青岛市中考试题)
3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）， 当且仅当 a＝c 且 b＝d 时，（a，b） ＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p， q）＝（5，0），则 p＋q＝________．
）
A.1627384950
B. 2345678910
C. 3579111300
D.
4692581470
（江苏省竞赛试题） 解题思路：设自然数从 a＋1 开始，这 100 个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2) ＋ …＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.
【例 3】设 A＝ 12 + 22 1´ 2
初一数学复习知识点专题讲解与练习 专题 03 从算术到代数
阅读与思考 算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”
和“运算”的基础上发展起来的. 用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发
展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的 一个飞跃.用字母表示数有如下特点：
例2 A
例 3 原式= 2 + (1 − 1) + 2 + (1 − 1) + 2 + (1 − 1) + L + 2 + ( 1 − 1 ) + 2 + ( 1 − 1 )
2
23
34
1003 1004
1004 1005
= 2 ×1004 + (1 − 1 )
1005
故其整数部分为 2008
例 4 设图③中含有 3p 个正方形.
+
22 + 32 2´ 3
+
32 + 42 3´ 4
10032 + 10042 ＋…＋
1003´ 1004
10042 + 10052 ＋
1004´ 1005
，求 A
的整数部分.
解题思路：从分析 A 中第 n 项 n 2 + (n + 1)2 的特征入手. n ? (n 1)
（北京市竞赛试题）
2 / 13
（1）这若干名检验员 1 天检验多少个成品（用含 a、b 的代数式表示）； （2）试求出用 b 表示 a 的关系式； （3）若 1 名质检员 1 天能检验 4 b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？
5 （广东省广州市中考试题）
B级 1. 你能很快算出 19952 吗？ 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为 5 的自然数的平方，任意一个个位数为 5 的自然数可写成（10·n＋5）（n 为自然数），即求（10·n＋5）2 的值（n 为自然数）， 分析 n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在 下面的空格内填上你的探索结果）.
么 x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3 的平均数是（
A. a + b + c 3
B. a + b - c 3
C. a＋b－c
） D. 3(a＋b－c)
(希望杯邀请赛试题)
8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两
块草坪的周长相同，那么它们的面积 S1、S2 的大小关系是（ ）
(浙江省湖州市数学竞赛试题) 4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形 中有黑色瓷砖______块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖______块（含 n 代数式表示）．
（广东省中考试题）
-= 5.如果 a 是一个三位数，现在把 1 放在它的右边得到一个四位数是（ ）
A.1000a＋1
B. 100a＋1
C. 10a＋1
D. a＋1
(重庆市竞赛试题) 6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子
5 / 13
是（ ） A. a10＋b19
B. a10-b19
C. a10-b17
Fra Baidu bibliotek
D. a10-b21
(四川省眉山市竞赛试题)
7.有三组数 x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是 a，b，c，那
（重庆市竞赛试题） 5.A，B 两地相距 S 千米，甲、乙的速度分别为 a 千米/时、b 千米/时（a＞b），甲、 乙都从 A 地到 B 地去开会，如果甲比乙先出发 1 小时，那么乙比甲晚到 B 地的小时数
是（ ）
A．
s a-
(s b
+ 1)
D．
s b
-
(s a
-
1)
B．
s b
-
(s a
+
1)
C．
s a-
(2)22＋42＋…＋502＝__________________.
3.已知
n
是正整数，an＝1×2×3×4×…×n，则
a1 a3
＋
a2 a4
a2010 ＋…＋
a2012
a2011 ＋＝
a2013
_______________.
(“希望杯”邀请赛训练题) 4.已知 17 个连续整数的和是 306，那么，紧接着这 17 个数后面的那 17 个整数的 和为__________.
(1) 由 3m + 1 = 5n + 2 ,得 m = 5n + 1
3
(2) 由 a = 3m +1 = 5n + 2 = 7 p + 3, 得 p = 3m − 2 = 5n −1 , 因 m,n, p 均 是 正 整 数 , 所 以 当
7
7
m = 17, n = 10 时,
p = 7, 此时 a = 3 ×17 + 1 = 52
【例 4】现有 a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成 m 个正方形，按如 图②摆放时可摆成 2n 个正方形.
(1)用含 n 的代数式表示 m； (2)当这 a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求 a 的最小值.
（浙江省竞赛试题）
解题思路：由图①中有 m 个正方形、图②中有 2n 个正方形，可设图③中有 3p 个 正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含 m，n，p 的等式.
下表；
剪裁次数
1
2
3
4
…
n
所得的总数
4
7
…
（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出 33 个扇形面？为什么？
（山东省济南市中考试题）
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10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原 a（a＞0）个成品， 且每个每天都生产 b（b＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其 中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产 的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．
(s b
-
1)
6.某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比高 a%，后因市场的变化，该
店把零售价调整原来零售价的 b%出售，那么调价后的零售价是（ ）
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A．m（1＋a%）（1－b%）元 C．m（1＋a%）b%元
B．m ⋅ a%（1－b%）元 D．m（1＋a%b%）元
（山东省竞赛试题） 7.如果用 a 名同学在 b 小时内共搬运 c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是
（重庆市竞赛试题）
10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的 数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于 18.若这四个数的乘积是 23 100，求这四个数.
（天津市竞赛试题）
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专题 03 从算术到代数参考答案
例 1 n(n + 2) +1 = (n +1)2
A. S1＞ S2
B． Sl＜ S2
（东方航空杯竞赛试题）
C．S1＝S2
D．无法
比较
9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为 4 个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成 4 个小扇形；以后按第二次剪裁
法进行下去． （1）请通过操作，猜想将第 3、第 4 次，…，第 n 次剪裁后扇形面的总个数填入
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3×5＋1＝16＝42 4×6＋1＝25＝52 … 请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________
(山东菏泽地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般 规律，然后用代数式表示.
【例 2】下列四个数中可以写成 100 个连续自然数之和的是（
2001 的积.
（2）在（*）中，未经约分且分母为 2 的数记为 c，它后面的一个数记为 d，是否
存在这样的两个数 c 和 d，使 cd＝2001000，如果存在，求出 c 和 d；如果不存在，请
说明理由. 1 12
解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（ ），（ ， ）， 1 21