复数问题的题型与方法

复数问题的题型与方法

复数一节的题型主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等．

一、数学规律：

1．共轭复数规律， ；

2．复数的代数运算规律 （1）i

4n

=1，i

41

n +=i ，i

42

n +=-1，i

43

n +=-i ；

（3）i n

· i

1

n +· i

2

n +·i

3

n +=-1， i n ＋i

1

n +＋i

2

n +＋i

3

n +=0；

；

3．辐角的运算规律

（1）Arg （z 1·z 2）＝Argz 1＋Argz 2

（3）Argzn=nArgz （n ∈N ）

…，n -1。

或z ∈R 。

要条件是|z|＝|a|。

（6）z 1·z 2≠0，则

4．根的规律

复系数一元n 次方程有且只有n 个根，实系数一元n 次方程的虚根成对共轭出现。 5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式

||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|的运用。

即|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|等号成立的条件是：z 1，z 2所对应的向量共线且同向。 |z 1±z 2|≥|z 1|-|z 2|等号成立的条件是：z 1，z 2所对立的向量共线且异向。

二、主要的思想方法和典型例题分析：

1．化归思想

复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。

【分析】这是解答题，由于出现了复数z 和z ，宜统一形式，正面求解。 【解】解法一 设z ＝x ＋yi （x ，y ∈R ），原方程即为223313x y y xi i +--=+ 用复数相等的定义得：

∴1z =-1，2z =-1+3i.

两边取模，得：

代入①式得原方程的解是1z =-1，2z =-1+3i.

【例2】 （1993·全国·理）设复数 z=cos θ＋isin θ（0＜

【解】 ∵z ＝cos θ+isin θ 4

z =cos4θ＋isin4θ

cos(2)sin(2)

22tan 2cos 2sin 2i i ππ

θθθ

θθ-+-=+tan 2cos(4)sin(4)22i ππθθθ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦

即tan 2ωθ==

，又∵0＜θ＜π

，当tan 2θ=12πθ=或712πθ=

【说明】 此题转化为三角问题来研究，自然、方便。 【例3】 设a ，b ，x ，y ∈R+，且2

2

2

x y r +=（r ＞0），

求证：

分析 令1z =ax+byi ，2z ==bx+ayi （a ，b ，x ，y ∈R+），则问题化归为证明： |1z |+|2z |≥r （a+b ）。

证明 设1z =ax+byi ，2z =bx ＋ayi （a ，b ，x ，y ∈R+），则

=|（a+b ）x+（a ＋b ）yi| =|（a ＋b ）（x+yi ）|＝（a ＋b ）·r 。

解 如图所示，设点Q ，P ，A 所对应的复数为：

即（x

0-3a+y

i）·（-i）＝（x-3a+yi）

由复数相等的定义得

而点（x

0，y

）在双曲线上，可知点P的轨迹方程为

【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。

2．分类讨论思想

分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。

【例5】（1990·全国·理）设a≥0，在复数集C中解方程z2＋2|z|=a。

分析一般的思路是设z=x＋yi（x，y∈R），或z=r（cosθ＋isinθ），若由z2＋2|z|=a

转化为z2=a-2|z|，则z2∈R。从而z为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了。

总之，是一个需要讨论的问题。

【解】解法一∵z2=a-2|z|∈R，∴z为实数或纯虚数。

∴问题可分为两种情况：

（1）若z∈R，则原方程即为|z|2+2|z|-a=0，

（2）若z为纯虚数，设z=yi（y∈R且y≠0），则原方程即为|y|2-2|y|＋a=0

当a=0时，|y|=2即z=±2i。

当0＜a≤1时，

当a＞1时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。

综上所述，原方程：

当a=0时，解为z＝0或z=±2i

解法二设z=x＋yi，x，y∈R，将原方程转化为

3．数形结合思想

数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化的广阔前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一，应引起注意。

【例6】已知|z|=1，且z5+z＝1，求z。

【解】由z5+z=1联想复数加法的几何性质，不难发现z，z5，1所对应的三点A，B，C及原点O构成平行四边形的四个顶点，如图所示，