第1章 单自由度系统的自由振动题解

习 题

1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ=

其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知

δ=3

24mgh EJ

=

则 k =

3

24EJ

h

设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "

m x kx =- 所以固有频率3

n 24mh

EJ

p =

1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ

2

a

θ＝h α 2F cos α＝mg

由动量矩定理：

a

h

a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12

1

2

2-=-≈⋅-===

=αθ

αθ

题1-1图

题1-2图

θ

F sin α

2

θα

h

mg

θ

其中

12

cos

sin ≈≈θ

α

α

h

l ga p h

a mg ml n 2

2

2

22304121==⋅+θθ g h

a l ga h l p T n 3π23π2π22

2=

==

1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。

解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为

21211k k k k k +=

'，212132k k k

k k k ++='，4

241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=

)

(42412132314

214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=

1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。

解：

111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4）

)

(/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知

）由（

题1-3图

题1-4图

1-5如题1-5图所示，质量为m 2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

解：此系统是一个保守系统，能量守恒.如图题中的广义坐标x ，设系统的振动方程为：

sin()x A wt a =+

则系统运动过程中速度表达式为：cos()x Aw wt a =+ 系统最大位移和速度分别为：

max max x A x Ax

==

系统在运动过程中，动能表达式为：

2

2

222122************ x T m x m x m r I r R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

弹性势能为：

2

2

11221122

x U k R k x R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

系统最大动能为：2

2

222max 122211111()()22222Aw Aw T m Aw m Aw m r I r R ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=

+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

最大弹性势能为：2

2max

112211

22

A U k R k A R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由于系统机械能守恒，因此：

max max T U =

22

222122211111()()22222Aw Aw m Aw m Aw m r I r R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2

211221122A k R k A R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由上式可解得系统的固有频率为：

题1-5图

1

1

22

122232R k k R w I m m R +=⎛⎫++ ⎪⎝⎭

1-6如题1-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为0I ，求系统的固有频率。 解：设曲臂顺时针方向转动的ϕ角为广义坐标，系统作简

谐运动，其运动方程为)sin(αϕ+Φ=t p n 。ϕ很小，系统的动能为

22212)(21

)(2121ϕϕϕ l m a m I T O ++=

)cos(αϕ

+Φ=t p p n n 所以， 2

22222122max 2

12121l p a p m p I T n n n O Φ+Φ+Φ=

取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为321,,δδδ，由

∑=0)(F m

O

， 02233111=-++l k b k ga m a k δδδ （A ）

由题意可知，系统势能为

a g m l k

b k a k V ϕδδϕδδϕδδϕ1222222323321211])[(2

1

])[(21])[(21+--+-++-+=

（B ） 将（A ）式代入（B ）式，可得系统最大势能为，

222223221max 2

1

2121l k b k a k V Φ+Φ+Φ=

由， max max V T = 得

=Φ+Φ+Φ2

22222122212121l p a p m p I n n n O 2222232212

12121l k b k a k Φ+Φ+Φ 所以，有2

2212

223212

l

m a m I l k b k a k p O n

++++=

1-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg ，弹簧静伸长是1cm ，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm 减至0.16cm ，求阻尼系数c 。 解：振动衰减曲线得包络方程为：nt

X Ae

-=

振动20个循环后，振幅比为：

200.64

0.16

nTd e = 题1-6图