罗尔定理在函数零点问题中的应用(可编辑)

罗尔定理在函数零点问题中的应用（可编辑）罗尔定理在函数零点问题中的应用

本科毕业论文

题目罗尔定理在函数零点问题中的应用

系别数学与信息科学学院

专业数学与应用数学

指导教师

评阅教师班级级2班

姓名学号

年 5 月 10 日

目录

摘要…………………………………………………………………………………………………? Abstract……………………………………………………………………………………?

引言………………………………………………………………………………………

(1)

1概念及定理 (1)

2罗尔定理在函数零点问题中的应用 (3)

2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用 (3)

2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应

用 (4)

2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应

用 (5)

2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问

题..........................................52.4.1 Laguerre多项式 (5)

2.4.2 Hermite多项

式....................................................................................6 2.4.3勒让德多项式 (8)

2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应

用 (9)

结束

语………………………………………………………………………………………

(10)

参考文

献………………………………………………………………………………………

(11)

致

谢………………………………………………………………………………………

(12)

摘要:在介绍了罗尔定理的基础上,通过综合应用类比法、分析法、演绎

推理法将罗尔定理在一元实函数中进行了推广,得到了在“任意区间”上罗尔定

理的结论成立,同时得到了在“函数在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷

的

导数外,其他点均有有限导数”的情形下罗尔定理的结论仍然成立.将罗尔定理

在

复变函数(解析函数)中进行了推广,得到了向量值函数中的一个重要结论.结合典型例题,分析、讨论并证明了罗尔定理及推广后的罗尔定理在函数零点问题

中

的实际应用,同时证明了在几何学上的具体应用,用广义罗尔定理证明了三个特殊多项式,说明了罗尔定理不仅具有重要的理论意义,而且还有很好的应用价值.

关键词:函数;函数零点;罗尔定理;应用

Abstract: On the basis of the Rolle theorem, through analogy,

combined application, analysis and deductive reasoning method, the promotion of Rolle theorem in the real function of one dollar. Then

the

conclusion of Rolle Theorem set up in the “free range”. At the

same time,

on the condition of “function in the range of a finite number of points in addition to positive or negative derivative of the infinite,

the other points are limited derivative”, Rolle theorem remain valid. Rolle theorem promote in the complex function analytic functions.

Vector-valued functions has been an important conclusion. Combined with

a typical example, and analysis, discussion and proof of Rolle theorem

and the promoted Rolle are application practically in the function against. At the same time, the specific application in the geometry is

proved. Using the generalized Rolle theorem prove three special polynomial. Rolle theorem shows not only an important theoretical significance, but also very good practical value Key words: function; function against; rolle theorem; application

引言

对函数零点问题的研究一直是微积分理论研究中的一个重要课题,解决

这一问题常用的工具是微积分中的零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中

值定理、柯西中值定理等,对于不同的理论和方法有不同的使用范围和各自的优

缺点.罗尔定理是基于费马定理且能导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的一

个著名定理,因此对罗尔定理的研究一直以来都是微积分理论研究中一个比较活

跃的方向.

根据罗尔定理,若函数在闭区间上连续、开区间内可导,则在端点和的取

值就决定了内某点的微分性质,尽管的取值一般情况下不易求出,但它并不影响罗尔定理的应用.由于它的这个优越性质,将它应用于函数零点问题中就具有明显的优越性.因此,长期以来人们都想削弱罗尔定理的三个限制条件,以便将它用于更加广泛的领域.至今,人们在文献[1]-[5]中将其在一元实函数中进行了推广,将“有限区间”推广到了“任意区间、任意端值”上,并且将“处处可导”推广到了“在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷的导数外,均有有限导数”,削弱了严格的限制,同时讨论了一些函数的零点问题.在罗尔定理的应用中,构造辅助函数十分重要.2003年,文献[6]利用找原函数的思想,通过不定积分的过程来寻求辅助函数,