第三章质点系力学剖析

ri Fij rj Fji
(rj ri ) Fji
rji Fji
Fij Fji
Fij Fji来自百度文库
Fij
ri
Fji
rj rj ri rji
其中的rji是质点j 相对于质点i 的位 置（rji = rj – ri），其方向由i指向j， 与Fji平行。因此叉乘rji ×Fji等于零， 而方程中的双重取和项消失。
vC
m mivi m
or mvC mivi (2)
以及
vC
mivi m
(2)
vC x
mi vix m
(2a)
vC y
mi viy m
(2b)
vC z
mi viz m
(2c)
我们还可以发现
vC
mivi m
(2)
aC
dvC
dt
d [(m1v1 m2v2 ... mnvn ) ]
dt
(m1 m2 ... mn )
miai
aC
m mi ai m
or maC miai (3)
mvC mivi (2)
我们定义质点系的动量p等于每一 个质点的动量的矢量和，既
P pi mivi mvC (4)
P pi mivi mvC (4)
可见，质点系的动量等于质心速度 与质点系总质量的乘积。
0 mv MV
既
V m v
M
船与人的运动方向相反，速度大小
与它们的质量成反比。
由速度对时间积分既可得到位移。
从质心角度考虑：由于系统水平方向 不受外力，所以质心的水平位置应保 持静止，既
XC c or XC 0
而
XC
0
(L
X )m (X )M mM
解得 X Lm
mM
即为所求。
系统的角动量
首先我们复习单一质点i的角动量定
义
Li ri mivi
系统的角动量L 定义为系统内每一
个质点的角动量的矢量和 ，既
n
L (ri mivi )
i 1
n
L (ri mivi )
i 1
现在我们来计算角动量对于时间的
导数
dL n n
dt
(vi mivi )
i 1
i 1
pi
nn
Fij
i1 j 1
因为每一个Fij 都对应有Fji， 且二者满足牛顿第三定律
（Fij = - Fji ），即质点系成 对内力的矢量和为零。
n
i 1
n Fi
i 1
n Fij
j 1
d dt
n i 1
pi
n
i 1
Fi
d dt
n i 1
pi
n
i 1
Fi
d dt
n i 1
Fi maC (5)
i 1
如果没有外力作用在系统上 (或如 果ΣFi = 0)，则ac = 0 , vc = 常量，以及 Σpi = p = mvc = 常量 这就是质点系的动量守恒定律。
例题
静止的船（质量M，长度L）上有一 个人（质量m）。当人从船头走到船 尾时，船移动了多少？
船人系统：水平方向不受外力，则该 方向上系统的动量守恒，所以有
假设有诸多外力F1, F2,…, Fi,…, Fn， 分别作用在质点系的对应质点上。与此 同时，质点系内部各质点间也存在一对、 一对的相互作用的内力。
我们将内力记为Fij，代表第i 个质 点受到的第j 个质点的作用力。可见Fii = 0。
第i 个质点的运动微分方程为
Fi
n
Fij
j 1
dmivi dt
取和Σri ×Fi 中的每一项是对应外力的 力矩，所以取和的意义是作用在质点系上
的外力矩的矢量和－总外力矩M。最终方
程写为
dL M (8) dt
既：质点系角动量对于时间的变化率等
于作用在质点系上所有外力矩的矢量和。
质点系力学
质心 质点系包括n个质点，其质量分别为 m1, m2,…, mn，位置分别为r1, r2,…, rn。 质 点系的质心位置矢量rc的定义为
rC
(m1r1 m2r2 ... mnrn )
(m1
m2
...
mn
)
miri
(1)
m
其中 m = Σmi 是质点系的总质量。
rC
mi ri m
dpi dt
其中 Fi 是所有作用在质点i上的外力 的矢量和，等式左侧第二项是质点系
内其它质点作用在质点i 上的力（内 力）的矢量和。
Fi
n Fij
j 1
dpi dt
对于质点系的n个质点，我们可以列 出n个这样的方程，将它们取和
n n n d n
Fi
i 1
i 1
Fij
j 1
dt
dL
n
n
dt
ri (Fi Fij )
i1 n
j 1
nn
ri Fi
ri Fij
i 1
i1 j1
n n n
ri Fi
ri Fij
i 1
i1 j1
其中Fi 是作用在i上的外力，而 Fij 是 作用在i 上的内力。 现在考虑等式右
侧的双重取和项
ri Fij rj Fji
pi
P pi mivi mvC (4)
我们将上述方程写成如下形式
n
i 1
Fi
d dt
n i 1
pi
dP dt
dmvC
dt
maC
n
d n
dP
i1 Fi dt i1 pi dt
dmvC
dt
maC
n
Fi maC (5)
i 1
既：质点系质心的加速度与下述情况等
(ri miai )
i 1
dL
dt
n i 1
(vi
mivi )
n i 1
(ri miai )
显然，因为 vi ×vi = 0，所以等式右
侧第一项为零
dL
dt
n i 1
(ri miai )
dL
dt
n i 1
(ri miai )
n
Fi Fij miai j 1
因为 miai 等于作用在第i 个质点上的 所有力的矢量和，所以可以有
(1)
上述定义等价于三个标量方程
xC
mi xi m
yC
mi yi m
zC
mi zi m
(1a) (1b) (1c)
由质心的定义我们可以发现
rC
miri
m
(1)
vC
drC
dt
d [(m1r1 m2r2 ... mnrn ) ]
dt
(m1 m2 ... mn )
mivi
同，将系统的所有质量集中在质心，并
将所有外力作用其上。
质点系的动量定理
n
dn
dP
Fi
i 1
dt
i 1
pi
dt
n
Fidt dP (6)
i 1
n
Fidt dP P (7) i 1
质点系的质心运动定理
n
i 1
Fi
d dt
n i 1
pi
dP dt
dmvC
dt
maC
n