函数迭代与函数方程(习题导学案教案)(奥数实战演练习题)

第35讲函数迭代与函数方程

本节主要内容有函数迭代与函数方程问题．在研究函数的表达式或函数性质时，通常是没有给出函数的解析式，往往只给出函数的某些性质，而要求出函数的解析式，或证明该函数具有另外的一些性质，或证明满足所给性质的函数不存在或有多少个，或求出该函数的某些特殊函数值……。

A类例题

例1 已知，则函数。

解令；则。

将此代入式可得

（）。

即（）

代入(1)式，显然其满足方程。

说明解函数方程（其中及是已知函数）时，可设，并在的反函数存在时，求出反函数；将它们代回原来的方程式以求出。但若为未知函数时，这个方法就不能用了。由于代换后的函数未必与原函数方程等价，所以最后一定要检验所得到的解是否满足原来的函数方程。

例2 已知为多项式函数，解函数方程（1）

分析由于为多项式函数，注意与和的次数是相同的。

解因为为多项式函数，而与并不会改变的次数，故由(1)可知为二次函数。

不妨设，

则，

，

所以，

所以解得

所以。

易检验出此确实满足。

说明当是多项式时，一般可设代入函数方程两端，比较两端x最高次幂的指数和x同次幂的系数，得到关于n及的方程组，解出这个方程组便可得到函数方程的解。

情景再现

1．已知f(2x－1)=x2＋x，那么函数f(x)=______________。

2．已知是二次函数，解函数方程。

3．若定义在上的函数f(x)满足

2f(x)＋f（)=x，求函数f(x)。

B类例题

例3 设f (x)是定义在R上的偶函数。其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2，都有f (x1＋x2)＝f (x1)·f (x2)，且f (1)＝a＞0．

（1）求及；

（2）证明f (x)是周期函数；

（2001年全国高考题）

（1）解因为，

令，得①

由，知≥0，x∈[0，1]。

取代入①式得=f (1)＝a＞0，

由知。

取代入①式得，

由知。

（2）证明依题设y＝f (x)关于直线x＝1对称，

故f (x)＝f (1＋1－x)，即f (x)＝f (2－x)，x∈R

又由f (x)是偶函数知f (－x)＝f (x)，x∈R

将上式中－x以x代换，得f (x)＝f (x＋2)，x∈R

这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．

例4 已知函数满足：，且对任意的有(1)

求函数。

分析已知函数方程中出现了两个独立的变量x、y，不妨设其中一个变量为常数。

解令代入(1)可得，(2)

令代入(1)可得，(3)

令代入(1)可得(4)

由(2)、(3)、(4)得，

即，

所以。

易检验满足方程式。

说明由函数方程所确定的函数不唯一，这取决于两个初始值和。事实上，若，则函数方程的解为。

例5 设是对除x=0和x=1以外的一切实数有定义的实值函数，且，求。（美国第32届普特南数学竞赛题）

分析题目给出了函数所满足得条件，故应用适当的表达式换元，得到关于的方程组。

解法一令，则，

将此代入（1）可得

即（2）

此时(1)及(2)并无法解出；

再令；则。将此代入(1)式则可得

，即，（3）

将(1)、(2)、(3)联立，消去，得

。

将代入（1）式检验：

所以。

解法二令，则，

此时可将表示为，（1）

迭代一次可得，（2）

再迭代一次可得

，（3）

将(1)、(2)、(3)联立，解得。下同解法一。

说明利用一次换元，出现了新的函数形式，此时无法通过消元求出所求函数，可以考虑再进行一次换元，使得出现的函数形式个数与方程个数一致，从而通过解方程组解出所求函数。

数。

分析定义在正整数上的函数，可以对所给方程进行转化得到关于的

递推关系（把看成数列{}）。

解将式两边同除可得

对任意的，有。（此时，易证得对任意，）

依次以代入式，可得

，

，

将这个等式相加，得到，

所以，

所以，对任意，。

说明对于定义域为自然数的函数方程，往往可以转化为数列问题，通过找出的某个递归公式，然后依次取x为自然数个值代入递归公式，得到m个等式；

设法利用这些等式消去以外其它形式的函数，即可求出函数方程的解。

例7 设函数，k为无理数=3.1415926535…的小数点后第n位数字，并且规定。令，

求证：。

（1990年希望杯全国数学竞赛题改编）

分析这里的似乎无公式可以计算，而所证式中又有，等。可以先列举

一些的值以求出规律。

从而=1。

所以。

情景再现

4．函数设满足关系式，其中，求所有这样的函数。

（1994年第20届全俄数学奥林匹克竞赛试题）

5．已知f(x)是一次函数，且，求函数f(x)。

6．设f的定义域为N*，满足，且对任意的，试求。

C类例题

例8 设Q是全体有理数集合，求适合下列条件的从Q到Q的全体函

数：

（1）；

（2）对任意，有。

分析先考虑正整数上的函数，再考虑整数，再到有理数。解在中，令y=1，则

，

又，所以。

当n为正整数时，。

当n=-m为负整数时，

。

因此，当n为整数时，有。

于是。

这样，就有当x为整数时，有。

对任意有理数（为整数且），

在中，令，得

，

即，即。

故当x为有理数时，有。