四川大学信号与系统考研真题+答案09年

正确性，并说明理由。
解：因为阶跃响应 g(n) 满足
¥
å g (n) < ¥
n=0
根据 g(n) 与单位样值响应 h(n) 的关系，有
¥
å h(n) * u(n) < ¥
n=0
其中 u(n) 不是绝对可和的，而卷积（和）是绝对可和，一定是 h(n) 绝对可和。
（例如 h(n) 是d (n) - d (n - N ) 同 u(n) 卷积，成为一个长度为 N 的有限序列。）
24 28
32 ,k=8 k
X (s) = 1 - 1 e-4s = 1- e-4s ,s > 0.
1 - e-8k s 1 - e-8k s
1 - e-8k s
2，因果信号的 LT X (s) 仅有两个极点 3 和 0，在无限远处有一个二阶零点， x(1) = -1 ，
求 x(t) 。
解：由题给条件，可得 x ( s ) = k
4，己知某系统的传输函数 H (z) 或（ H (s) ），决定该系统的单位冲激响应函数形式是
H (z)(H (s)) 的零点，判断此说法的正确性，并说明理由。
解：设 H (s) = N (s) ; H (z) = N (z)
D(s)
D(z)
D(s) = 0, D(z) = 0 的根为 pi , i = 1, 2, 3,· · · h(t), h(n) Þ Re s[H , Pi ] = ke pi t ; k( pi )n 故 h(t), h(n) 的函数形式由传输函数分母的根决定；分子的零点只与系数 k 有
这是一个等比级数，其公比为 z-2 ，收敛域 ROC 为
z-2 < 1;Þ z > 1.
x(
z)
=
1
z -
-1
z -2
=
z, z2 -1
z
> 1.
å 4，己知 x(z)
= 1+
5 z -1 - 6z-2
¥
，且
n = -¥
x(n)
<
¥ ，求 IZT。
¥
å 解： 由题给条件 x(n) < ¥ ，可知 x（n）是绝对可和的有限持续能量型信号， n = -¥
¥
å 1，求信号 x(t) = (-1)k d (t - 4k) 的 LT。 k =-¥
¥
å 解 Ⅰ：因信号 x(t) = (-1)k d (t - 4k) 是当 K 为偶数时，是幅度为正、间隔为 4、 k =-¥
持续在 (-¥, ¥) 的周期d 信号；同样当 K 为奇数时，是幅度为负、间隔为 4、持续在 (-¥, ¥) 的周期d 信号。周期信号不存在 LT。
号的 FT，并画出幅度谱图。 解：按抽样（末调制信号）定理有
Dt
£p wc
=p 10
= 0.1p
Þ (取最大值)ws
³ 2p
·1 0.1p
=
20 。
å x s ( e jw ) = p [d (w
- 1 0 ) + d (w
+ 1 0)] * [ 2p Dt
¥
d (w
k =-¥
-
2p Dt
k )] ·
其 ROC 应是 2 < z < 3 （双边信号）
x(n)
=
Re s[(z
+ 3)
(z
5z + 3)(z
- 2)
zn]
z = -3
+
6
Re s[( z
- 2)
(z
+
5z 3)( z
-
2)
zn]
z=2
= [3(-3)n (-n -1) + 2(2)n u(n)]
五，（共 20 分）己知因果 DLTI 系统的单位冲激响应 h(n) = (-1)n u(n) + 2n u(n) ，
一位，即得。（略）
2，求 x(t) = e2 tu(-t) *[u(t) - u(t - 2)] 。
ò 解： e2tu(-t) «
0 e(-s+2)t dt = -1 e(-s+2)t
-¥
s-2
0 -¥
=
-1 ,s s-2
<
2
[u(t) - u(t - 2)] « 1 (1- e-2s ),s Î (-¥, ¥) s
- j 4p n
[ j cos(2p )e 5 - j cos(2p )e 5 ]
j 2p n
- j 2p n
x(n) = - j[e 5 - e 5 ] +
j 4p n
- j 4p n
j[e 5 - e 5 ]
= 2[sin( 2p n) - sin( 4p n)].
5
5
4，己知对信号 x(t) = cos(10t) 进行抽样得 xs (t) ，求其不失真抽样频率ws ，及抽样后信
09 硕题解
一，填空题（每小题 3 分，共 24 分）
ò ò ò 1，积分 ¥ e-td (3t + 3)dt = ¥ e-td [3(t +1)dt = 1 e ¥ d [(t +1)dt = 1 e
-¥
-¥
3 -¥
3
å 2，信号 x(n) = sin(0.5p n) 的 FT x(e jw ) ＝ 1 Re ct(w ) * ¥ d (w - kp )
关，与 h(t), h(n) 的函数形式无关。
ò 5，x(t) 满足 ¥ x(t)e4 t dt < ¥ ，其 LT 有且仅有两个极点 0 和－2，则s = -3 位于 ROC -¥ 内，判断此说法的正确性，并说明理由。 解：由题给条件，可得 x(s) = k s(s + 2)
① e4t 在正时域是增长的，如 x(t) 是正时域信号，则 x(t) 必以 e-atu(t), a > 4 隨
ò 而衰减，才能满足条件 ¥ x(t)e4 t dt < ¥ 。这时的 ROC s > c 。而题给在 0 和－2 -¥
有极点，故 ROC s > 0 。 同时，在负时域内， x(t) 可以 e-atu(-t), a < 4 隨 t 负值增加而保持衰减，才能
ò 满足条件 ¥ x(t)e4 t dt < ¥ 。这时的 ROC s < d 。而题给在 0 和－2 有极点，故 -¥
´ ；否则用 表示。
1
①H (z) =
z -1
´
( z + 2)( z - 0.5)
´ ② y(n) - y(n -1) - 2 y(n - 2) = x(n)
③H (s) =
s2
e-s + 3s
+
2
,s
> -1
ò ´ ¥
④ h(t) = 0, t > 0 且 h(t) dt < ¥ -¥
3，己知线性离散系统的单位阶跃响应绝对可和，则该系统里稳定系统，判断此说法的
12
－4 －12
-2 -1 0
－01
0
0 1
2 2
--1
-1
0
3 4n
n
x(n)
-12
用－01.5 n¢ 置0换 n 得 x(n¢ -1)
2 3 x(n)
0
1
2
1
3
-5 --（）
0
-5 -3 -1 0 1 2 3
用 n+1 置换 n¢ 得 x（n）
-1
x(n+1)
1
x(n) *d (n +1) 将 x(n) 左移
2p 2
p
二，判断题（每小题 4 分，共 20 分）
´ 1，判断下面是功率信号的用 ；否则用 表示。
① x(t) = e t
② x(t) = sin(p t ) 3
´ ③ x(t) = sin(10t) t
2，下面是因果稳定系统的用
´ ¥
④ x(t) = å [u(t - 4k) - u(-2 - 4k)] k =-¥
ROC s < -2 。 不存在s > 0 ，s < -2 的s ，此情况不可能。
三，完成下列运算（每小题 6 分，共 30 分）
1，己知 x(2n -1) = n +1, -2 £ n £ 2 画出 x(n) 及 x(n)d (n +1) 的波形图。
2 3 x(2n-1) 1 -2 -1 (-1 ) (0) 0 1 2 n
8，信号 x(t) 的 FT 为 X ( jw) = 2 - 2 w , w < 1则 x(0) = 1
。
p
因有
ò x(t) = 1 ¥ X ( jw)e j w tdw
2p -¥
则
ò ò x(0) = 1
2p
¥ X ( jw)e j w
-¥
tdw
t=0
=
1 2p
¥
X ( jw)dw
-¥
= 1 ·[1 · 2 · 2] = 1 .
解：因为
j
e
(t0
w+p 2
)
¬ FT
®
jd (t + t0 )
又
X ( jw) = cos( 2w + 3p ) = cos(1 w + p )
6
32
=
1
[e
j
(
1w 3
+
p 2
)
+
- j(1w+p )
e 3 2]
2
x(t) = 1 [ jd (t + 1) - jd (t - 1)]
2
3
3
四，计算下列变换（每小题 5 分，共 20 分）
解Ⅰ：因 x(n)=1,n=1,3,5,gggÞx(n)=u(n)-u(2n)
xx (n)
……………
01 3
5
79
n
U(nu(n)
……………
0 1 23 4 567 8 9
n
U(2n)u(2n)
…………
012
4
6
8 10
n
x(z) = [ z z -1
z
z
2
2
-
] 1
=
z
z
2
-
1
,
z
>1
¥
å 解Ⅱ：： X (z) = z-1 + z-3 + z-5 + · · · + z-(2n-1) · ·· = z-(2n+1) n=0
¥
å 解Ⅱ：如题给变成 x(t) = (-1)k d (t - 4k) 下限由 -¥ 变成 0。如下图所示，可表为 k =0
¥
¥
¥
x(t) = å (-1)k d (t - 4k) = åd (t - 8k) - åd (t - 8k - 4)
k =0
k =0
k =0
1．0 x(t)
－1 4,k=1 8 12 16 20
1 2p
.
¥
= 10[d (w -10) + d (w +10)]*[ å d (w - 20k)]. k =-¥
p
p FT{cos(10t)
-10 0 10
w
10
10
……
10 F (e jw ) 10
……
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 w
4
5，己知 X ( jw) = cos( 2w + 3p ) ，求 IFT。 6
ò t 负值增加而保持衰减，才能满足条件 ¥ x(t)e4 t dt < ¥ 。这时的 ROC s < d 。 -¥
而题给在 0 和－2 有极点，故 ROC s < -2 。这种情况s = -3 位于 ROC 内。 ③如 x(t) 是正、负时域信号，在正时域内，则 x(t) 必以 e-atu(t), a > 4 隨 t 增加
s(s - 3)
x(t) = Re s[s k es t s(s - 3)
s=0
]
+
Re
s[(
s
-
3)
s
(
k s-
3)
es
t
s=3 ]
5
（
x(t)
t =1
= [-
k 3
+
k 3
e3] =
-1 Þ
k
»
-0.15 ）
x (t ) = 0 .0 5[1 - e 3 t ]u (t )
3，求信号 x(n) = 1, n = 1,3, 5,ggg的 ZT
求：1，系统传输函数 H (z) 。（5 分）
pn
2
p k =-¥
Fra Baidu bibliotek
3，因果信号 x(t) 的 LT 为
X
(s)
=
s-2 s2 + s
，则
x(¥) = lim sX (s) = lim s s - 2 = lim s s - 2 = -2
s®0
s®0 s2 + s s®0 s(s +1)
4，信号的功率谱或能量谱由 信号的幅度谱密度 谱决定，与信号的相位谱密度 谱无关。
å å x ( n ) =
¥
[
1
N -1
- jk 2p n jk 2p n
x ( n ) e N ]e N
N k = - ¥
n=0
题给实周期信号，其离散频谱正、负频率成份共轭，则得
j 2p n
- j 2p n
x(n) = [ j cos(p )e 5 - j cos(p )e 5 ] +
j 4p n
5，CLTI 系统是因果的之充分必要条件是 h(t) º 0,t < 0. 。
6，周期信号 x(t) 的周期 T＝4， x(0.5t) 的 FS 系数 ak = k, k = 0, ±1, ±2. 则 x(t) 的平均
2
å 功率＝ k = k 2 = 1+1+ 4 + 4 = 10w
。
k =-2
7， x(n) ZT 为 x(z),1 < z < 3, 则 nx(n) 的 ZT 为 -z dX (z) ,1 < z < 3. 。 dz
ò t 增加而衰减，才能满足条件 ¥ x(t)e4 t dt < ¥ 。这时的 ROC s > c 。而题给在 0 -¥
和－2 有极点，故 ROC s > 0 。这种情况s = -3 不位于 ROC 内。
2
② e4t 在负时域是衰减的，如 x(t) 是负时域信号，则 x(t) 可以 e-atu(-t), a < 4 隨
x(t) « X (s) = -1 · 1 (1- e-2s ),s < 2 s-2 s
= 1 · 1 (e-2s -1),s < 2 s-2 s
3
3，周期 N＝5，FS 的系数为 ak 的实奇周期信号 x(n) 有如下信息 ak = j cos(kp ); k = 1, 2;
求 x(n)
解：将 FS 的系数 ak ，理解为复数形式。 x(n) 可表为