数学漫步：直觉下的微分和积分

数学漫步：直觉下的微分和积分
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积分学和微分学是一枚硬币的两面。

然而，积分似乎比微分更复杂，因为它涉及到引入数学符号和抽象概念。

然而，这些概念本身是非常直观的，并且允许将复杂的概念转换为简单的代数操作。

这篇文章试图提供积分微积分的一个直观的观点，并详细说明积分的用途。

经典的积分其实并不是计算曲线下的面积。

在中学，我们都学会了如何计算各种规则和不规则多边形的面积。

我们还学习了求圆和椭圆面积的公式。

但是如何计算其他曲线的面积呢?如何求曲线函数下的面积，比如下面这个?
你会发现，到目前为止你所学到的方法都无法做到这一点。

这就是强大的积分学发挥作用的地方。

然而，事实证明，计算这个区域并不像看起来那么困难，而且这个过程是基于更熟悉的方法。

那么，我们如何求面积呢?如果我们把这个区域划分成更标准的形状——比如矩
形。

我们知道如何求一个矩形的面积——它就是长x宽。

我们把这个区域分成等宽的矩形，正好在曲线下面。

这看起来像
这是我们对4个矩形的估计。

我们可以计算每个矩形的面积，因为我们知道宽度(端点a和端点b之间的距离除以4)和高度(在右端点处的函数值)。

现在，这显然不是一个很好的估计-看看所有的空间。

但是如果我们用10个矩形而不是4个，会发生什么呢?接着1000个矩形，100000个矩形，如果我们让每个矩形的宽度都趋近于0而矩形的数量也越来越趋近于无穷，会发生什么呢?
然后我们就得到了确切的面积。

这很直观:随着矩形的宽度变得越来越小，单个矩形与曲线的拟合效果也越来越好;它们的面积和收敛于曲线和x轴之间的真实面积。

这里有一个很好的动画来说明这一点:
通过对其进行数学描述，可以使这一观点更加严谨:
这个公式一开始看起来很吓人，但我们所做的只是把它写成数学符号。

让我们从里到外看一遍，在求和里面，我们只是通过将函数在右端点的值乘以矩形的宽度来计算矩形的面积，就像前面描述的那样。

这个宽度是由端点的差除以分割的次数给出的(这确保了每个宽度都是相等的)。

当矩形的数量趋于无穷时，可以通过对所有矩形的面积求和来计算实际的积分。

然而，这只描述了一种积分。

结果是，您不需要确保矩形具有相同的宽度，也不需要它们具有与右端点相等的高度。

这个公式的更一般的表示如下(这是你更可
能看到的)，使用标准的微积分符号:
这就是所谓的黎曼和，以复变分析的创始人之一，Bernhard Riemann命名。

现在，这看起来更可怕，但我们只是增加了一些细节。

这个公式很简单地说明了，你可以计算出一个函数和x轴之间的面积用矩形的和表示。

每个矩形的面积由任意宽度Δx给出，高度由x函数的值给出，其中x是根据一些标准（左端点、中点、最大值等）选择的。

上面的方程看起来很复杂，但它所做的只是用数学来量化前面所述的内容。

随着矩形的宽度变得无穷小(越来越接近0)，我们对面积的近似使用矩形变得越来越精确。

通过宽度不必一致，矩形的高度可以通过不同的标准来确定，然而，最后的积分总是相同的。

积分的符号∫只是一个拉长的S（代表和），我们正在计算函数f（x）在2个点之间的积分：a和b。

dx只是表示每个分区宽度的一个无穷小值（这相当于积分中的Δx，因为Δx趋向于0）
在两点之间计算的积分称为定积分。

定积分可以让我们实际计算出一个函数和x 轴（或者y轴，甚至是另一个函数之间的面积，但这要稍微复杂一些）。

这个积分是如何计算的？幸运的是，你不必经历一个漫长的过程来求很多很多矩
形。

微积分基本定理的第一部分指出：
F(x)是f(x)不定积分的标准符号。

这意味着F(x)的导数等于f(x)也就是F ‘ (x) = f(x)不定积分就是给定一个函数的导数，确定原始函数的过程:如果f ‘ (x) = 2x，我们求导的原始函数是什么?结果是一个不定积分返回一个函数;定积分返回一个值。

这是积分的第二个目的:它是导数的逆函数。

这在微积分基本定理的第二部分中得到了数学上的证明，
上面的积分是不定积分，因为它没有端点。

这个积分要做的就是求一个函数的不定积分。

为了求值，你必须熟悉微积分和导数的规则。

有各种各样的规则可以用来解决这个问题，它们源于导数的计算方法。

以下是一些基本的规则。

如果你对这个图表感到困惑，或者不明白这些规则从何而来，我建议你进一步阅读导数(它和积分一样直观)。

为了求出函数和x轴之间的面积，首先对函数求不定积分，然后在两个端点取值(记住，不定积分仍然是一个函数)最后，用基本定理从第二个结果中减去第一个结果。

到目前为止，这些都是非常抽象和技术性的，所以让我们在一个例子中实际应用这些概念。

我们要求函数f(x) = 3x ,x在端点0到6之间的面积。

第一步是求这个函数的不定积分。

我们得到F(x) = x 如果你想再次验证，只要对F(x)求导如
果它等于原始函数f(x) 。

积分与微分学密切相关，所有其他分支(微分方程、向量微积分、多元微积分等)都源于这两个创始思想。

本文的目标是介绍积分的概念，让数学从直觉出发。

积分使我们能够更好地理解我们的世界，更精确地描述现象。