等势面静电场中的电偶极子
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2ε0r
方向：垂直于轴线向外
r
第9章 静电场
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2
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再求电势
R
9-4 静电场中的电偶极子
（1） 轴 V=0
rR
0
0
V1
E dl
r
r E1dr
r
E1 2ε0
E2
R2
2ε0r
0 r dr r 2ε0
r2
4ε0
第9章 静电场
E
dV dln
en
第9章 静电场
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9-4 静电场中的电偶极子
例1：由点电荷的电势求场强。
解： V q
4πε0r
+q
E
Er
dV dr
d ( q ) dr 4πε0r
q 4πε0r 2
第9章 静电场
q E 4πε0r 2 er
V V
V 0
V
en
A
l
B
E
q 1
单位正电荷由A→B静电力 所做的功
WAB q(VA VB ) qE l
有 V El cos Ell
El
V l
当l 0 时，
El
lim l 0
V l
dV dl
第9章 静电场
z)
第9章 静电场
返回
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定义梯度
9-4 静电场中的电偶极子
gradf (x,y,z) f i f j f k x y z
电场强度与电势的关系
E Exi
Ey j Ezk
（V x
i
V y
j V z
r 2ε0r
2ε0 r
第9章 静电场
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5
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9-4 静电场中的电偶极子
七 电场强度与电势梯度
1. 等势面 电场中电势相等的点所构成的曲面。
① 点电荷的等势面
V q
+q
4πε0r
点电荷的等势面是一系列
以q为中心的同心球面。
第9章 静电场
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6
+++++++++++
k)
gradV V
电场强度等于电势梯度的负值.
第9章 静电场
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V V
V
en
A
l
E
q 1
9-4 静电场中的电偶极子
沿着等势面的方向
En
V ln
en
( E En )
B
E
V ln
en
V 0 lt
9-4
等势面的基本性质：
静电场中的电偶极子
电荷沿等势面移动时，静电力做功为零.
某点的电场强度与通过该点的等势面垂直， 即等势面与电场线处处正交.
等势面密的地方，场强大；等势面疏的地 方，场强小.
-
-
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9-4 静电场中的电偶极子
2. 电场强度与电势梯度的关系
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R
r
E1 2ε0
E2
R2
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9-4 静电场中的电偶极子
rR
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V2
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r E2dr R E1dr
R R2 dr
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dr
r 2ε0r
R 2ε0
R2 R R2
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9-4 静电场中的电偶极子
（2） 表面 V=0
R
rR
V1
R
r E1dr
R r dr (R2 r2 )
r 2ε0
4ε0
rR
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E1 2ε0
E2
R2
2ε0r
V2
R
r E2dr
R R2 dr R2 ln R
在直角坐标系中
E 沿x方向的分量等于电势沿x方向空间变化
率的负值，即
V (x, y, z) Ex x
E 沿 y方向的分量等于电势沿y方向空间变化
率的负值，即
V (x, y, z) Ey y
E 沿 z方向的分量等于电势沿z方向空间变化
率的负值，即
Ez
V (x, y, z
l
E1
2πrl
r2l
ε0
r
E1 2ε0
方向：垂直于轴线 向外
第9章 静电场
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9-4 静电场中的电偶极子
R
r
E
E R 2ε0
O
（2） r R
l
S E2 dS
E2 2πrl
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E2
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F qE
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9-4 静电场中的电偶极子
V V
V
en
A
B l
E
q 1
dV El dl
电场强度沿 l 方向 的分量，等于电势 沿这个方向空间变 化率的负值.
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9-4 静电场中的电偶极子
4πε0
(
x
q 2
R
2
)1
2
qx
4πε0 (x2 R2 )3 2
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9-4 静电场中的电偶极子
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八 静电场中的电偶极子
1. 外电场对电偶极子的力矩和取向作用
F
l
o
q
正负电荷所受到的力分别为
q
F
E
F qE
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9-4 静电场中的电偶极子
例2: 用电场强度与电势的关系，求均匀带q
电量的细圆环轴线上一点的电场强度.
解：V
q 4πε0 (x2
R2 )1 2
Ro
x Px
qx
E
i
4πε0 (x2 R2 )3 2
E
Ex
V x
x
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9-4 静电场中的电偶极子
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例4：半径为R的无限长圆柱体，电荷按体密
度 分布，分别以（1）轴线处为零电势位
置，（2）圆柱体表面为零电势位置，求圆
柱体内外的电势。
解： 先求场强
R
（1） r R
r
S E1 dS 上底 E1 dS 下底 E1 dS 侧面 E1 dS
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9-4 静电场中的电偶极子
② 平行板电容器的等势面
B
WAB A q0E dl q0 (VA VB )
q0 A
E dl 0
VA VB
B
匀强电场中等势面是一组与电
场线垂直的平面。
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方向：垂直于轴线向外
r
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再求电势
R
9-4 静电场中的电偶极子
（1） 轴 V=0
rR
0
0
V1
E dl
r
r E1dr
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E1 2ε0
E2
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E
dV dln
en
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9-4 静电场中的电偶极子
例1：由点电荷的电势求场强。
解： V q
4πε0r
+q
E
Er
dV dr
d ( q ) dr 4πε0r
q 4πε0r 2
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q E 4πε0r 2 er
V V
V 0
V
en
A
l
B
E
q 1
单位正电荷由A→B静电力 所做的功
WAB q(VA VB ) qE l
有 V El cos Ell
El
V l
当l 0 时，
El
lim l 0
V l
dV dl
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z)
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定义梯度
9-4 静电场中的电偶极子
gradf (x,y,z) f i f j f k x y z
电场强度与电势的关系
E Exi
Ey j Ezk
（V x
i
V y
j V z
r 2ε0r
2ε0 r
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9-4 静电场中的电偶极子
七 电场强度与电势梯度
1. 等势面 电场中电势相等的点所构成的曲面。
① 点电荷的等势面
V q
+q
4πε0r
点电荷的等势面是一系列
以q为中心的同心球面。
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+++++++++++
k)
gradV V
电场强度等于电势梯度的负值.
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V V
V
en
A
l
E
q 1
9-4 静电场中的电偶极子
沿着等势面的方向
En
V ln
en
( E En )
B
E
V ln
en
V 0 lt
9-4
等势面的基本性质：
静电场中的电偶极子
电荷沿等势面移动时，静电力做功为零.
某点的电场强度与通过该点的等势面垂直， 即等势面与电场线处处正交.
等势面密的地方，场强大；等势面疏的地 方，场强小.
-
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2. 电场强度与电势梯度的关系
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R
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E1 2ε0
E2
R2
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rR
0
V2
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（2） 表面 V=0
R
rR
V1
R
r E1dr
R r dr (R2 r2 )
r 2ε0
4ε0
rR
r
E1 2ε0
E2
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V2
R
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R R2 dr R2 ln R
在直角坐标系中
E 沿x方向的分量等于电势沿x方向空间变化
率的负值，即
V (x, y, z) Ex x
E 沿 y方向的分量等于电势沿y方向空间变化
率的负值，即
V (x, y, z) Ey y
E 沿 z方向的分量等于电势沿z方向空间变化
率的负值，即
Ez
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l
E1
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ε0
r
E1 2ε0
方向：垂直于轴线 向外
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R
r
E
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O
（2） r R
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S E2 dS
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V V
V
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A
B l
E
q 1
dV El dl
电场强度沿 l 方向 的分量，等于电势 沿这个方向空间变 化率的负值.
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4πε0
(
x
q 2
R
2
)1
2
qx
4πε0 (x2 R2 )3 2
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八 静电场中的电偶极子
1. 外电场对电偶极子的力矩和取向作用
F
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o
q
正负电荷所受到的力分别为
q
F
E
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例2: 用电场强度与电势的关系，求均匀带q
电量的细圆环轴线上一点的电场强度.
解：V
q 4πε0 (x2
R2 )1 2
Ro
x Px
qx
E
i
4πε0 (x2 R2 )3 2
E
Ex
V x
x
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例4：半径为R的无限长圆柱体，电荷按体密
度 分布，分别以（1）轴线处为零电势位
置，（2）圆柱体表面为零电势位置，求圆
柱体内外的电势。
解： 先求场强
R
（1） r R
r
S E1 dS 上底 E1 dS 下底 E1 dS 侧面 E1 dS
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② 平行板电容器的等势面
B
WAB A q0E dl q0 (VA VB )
q0 A
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VA VB
B
匀强电场中等势面是一组与电
场线垂直的平面。
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