抽样定理说明介绍
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§3.11抽样定理
主要内容
抽样定理 由抽样信号恢复原信号（§5.9） 时分复用（§5.11)
重点 抽样定理
难点 由抽样信号恢复原信号
BUPT EE
退出 开始
一.抽样定理
（1）抽样前滤波→有限频
（2）抽样率足够高
（3）抽样后接理想低通滤 波器，滤除高频分量
1 F
mo m
P
S
S o S
1 TS
100
100 100
t
100 0
100
wk.baidu.com
所以信号的频带宽度为
fm
m 2
50 Hz
m 100 rad/ s
X
（2）
第 7
页
最高抽样频率（奈奎斯特频率）为
100
f N 2 f m Hz
奈奎斯特间隔（即最大允许抽样间隔）为
1
TN
fN
s 100
X
4.抽样定理
一个频率受限的信号f(t) ,若频谱只占据 m ~ m
TS
H T0s
c c
S
om
S
S m
H
F Fs H f t fs t ht
TS
滤除高频成分，即可恢复原信号 从时域解释
Co C
F
1
o
m
m
退退出出
时域运算
以理想抽样为例
时域： f s (t) f (t) T (t) f (nTs ) (t nTs )
频域： Fs
1
2
F
n
P
1 TS
F
n
n s
理想低通滤波器：
频域：H T0s
c c
时域：ht
Ts
c
Sa c
t
f t
f s (t) ht
f (nTs ) (t nTs ) Ts
n
c
Sa c
t
Ts
c
f (nTs )Sa c
n
t nTs
退出
f t
上式表明：
的范围，则信号f(t)可用等间隔的抽样值来唯一地表示.其
1
抽样间隔必须不大于 2 f,m 即
或者说最低抽样频率为
2
f
。
m
Ts
1(
2 fm
m 2),fm
f(t)
1 F
o
t
fS(t)
o TS
t
mo m FS
1
TS
S
om
S
S m
退出
二.由抽样信号恢复原信号 §5.9 p296
理想低通滤波器
S 2m 1 F S
fs 2 fm是最低允许的抽样频率 , 称为奈奎斯特抽样频率
退出
3.例如
音频信号：0～3.4KHz，
1 fsmin 6800 Hz, Tsmax 2 fm ,
fm 3.4KHz, fs 2 fm ,
若取
fs
8000 Hz,
则Ts
1 125s
8000
退出
第
例
5
页
求信号f (t) Sa(100t)的频宽（只计正频率部分），若对 f (t)进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率f N 和奈奎斯特 周期TN。
退出
三．码速与带宽，时分复用的码间串扰
a 时 钟 CP
T
码速：f 1 T
b矩形 0
归零码
1
0
1
1
0
1
0
带宽：1
c 矩形
不归零码 T
d 升余弦码
T 2T
P118
带宽：1 T
t0 t1
带宽：1 T
•选用带宽外高频 分量相对较小的 码型。
退出
利用Sa函数码型避免码间串扰
时钟 (CP)
Sa函数 码型
F S
S om S
退出
2.奈奎斯特(Nyquist) 抽样率和抽样间隔
重建原信号的必要条件：
s
2
Ts
2
fs
2 m
2 2fm
不满足此条件，就要发生频谱混叠现象
P159图3-54
演示
即
抽样 频率f s
2
f m 是必要条件, 或抽样间隔Ts
1 2 fm
1 Ts 2 fm
是最大抽样间隔 ,称为奈奎斯特间隔
Ts
c
f
n
(nTs )Sa c
t
nTs
连续信号f(t)可以展开成Sa函数的无穷级数，级数
的系数等于抽样值f(nTs)。也可以说在抽样信号fs(t)的每 个抽样值上画一个峰值为f(nTs) 的Sa函数波形，由此合 成的信号就是fs(t) 。
当 s
2
，
m
则有
c
m
, Ts
2 s
c
此时f t f (nTs )Sac t nTs
演示
n
抽样序列的各个冲激响应零点恰好落在抽样时刻 上。就抽样点迭加的数值而言，各个冲激响应互相不 产生“串扰” 。
退出
当s 2m时，只要选择m c s m 即可正确恢
复f t波形。
当s
2
时
m
，不
满
足
抽
样定理，f
s
t
的
频
谱
出
现
混叠
，
在时域图形中，因Ts过大使冲激响应Sa函数的各波形在时
间轴上相隔较远，无论如何选择c都不可能使迭加后的波
形恢复f t。
退出
三.抽样定理的应用—时分复用
● Time-division Multiplexing (TDM) ●主要用于数字信号的传输和接入 ●把传输信道按时间进行分割成不同的时间段 ●每部分时间段称为时隙 (Time Slot) ●占用较少的资源
优点
见P304图5-32
退出
优点
•时分复用传送PCM信号，传输PCM信号所具备的 优点在时分复用都得以体现。 •产生与恢复各路信号的电路结构相同，而且以数字 电路为主，比频分复用系统的电路更容易实现超大 规模集成，电路类型统一，设计、调试简单。 •容易控制各路信号之间的干扰（串话），合理设计 码脉波形可使频带得到充分利用并且防止码间串 扰。
T 1 0 11 0
2T t1 t0
若脉码速率f 1 ，相应的 T
单个Sa波形表达式为
Sa π t ，它的频谱函数 T
为矩形,频带B 1 。 2T
所占带宽减半。
在T的整数倍各时刻其抽样值为零，因而 接收端以此处为抽样判决点，保证不会出 现误判。
退出
(1)要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变
换F(ω)
已知
令
100
G t
,则＝200
Sa
2
2
G200t 200Sa100
X
第 6
页
即
1 200
G
200
t
Sa100
利用傅里叶变换的对称性
Sa100t
2
1 200
G200
100
G200
f(t)的波形和频谱图如下
f t
1
F
主要内容
抽样定理 由抽样信号恢复原信号（§5.9） 时分复用（§5.11)
重点 抽样定理
难点 由抽样信号恢复原信号
BUPT EE
退出 开始
一.抽样定理
（1）抽样前滤波→有限频
（2）抽样率足够高
（3）抽样后接理想低通滤 波器，滤除高频分量
1 F
mo m
P
S
S o S
1 TS
100
100 100
t
100 0
100
wk.baidu.com
所以信号的频带宽度为
fm
m 2
50 Hz
m 100 rad/ s
X
（2）
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最高抽样频率（奈奎斯特频率）为
100
f N 2 f m Hz
奈奎斯特间隔（即最大允许抽样间隔）为
1
TN
fN
s 100
X
4.抽样定理
一个频率受限的信号f(t) ,若频谱只占据 m ~ m
TS
H T0s
c c
S
om
S
S m
H
F Fs H f t fs t ht
TS
滤除高频成分，即可恢复原信号 从时域解释
Co C
F
1
o
m
m
退退出出
时域运算
以理想抽样为例
时域： f s (t) f (t) T (t) f (nTs ) (t nTs )
频域： Fs
1
2
F
n
P
1 TS
F
n
n s
理想低通滤波器：
频域：H T0s
c c
时域：ht
Ts
c
Sa c
t
f t
f s (t) ht
f (nTs ) (t nTs ) Ts
n
c
Sa c
t
Ts
c
f (nTs )Sa c
n
t nTs
退出
f t
上式表明：
的范围，则信号f(t)可用等间隔的抽样值来唯一地表示.其
1
抽样间隔必须不大于 2 f,m 即
或者说最低抽样频率为
2
f
。
m
Ts
1(
2 fm
m 2),fm
f(t)
1 F
o
t
fS(t)
o TS
t
mo m FS
1
TS
S
om
S
S m
退出
二.由抽样信号恢复原信号 §5.9 p296
理想低通滤波器
S 2m 1 F S
fs 2 fm是最低允许的抽样频率 , 称为奈奎斯特抽样频率
退出
3.例如
音频信号：0～3.4KHz，
1 fsmin 6800 Hz, Tsmax 2 fm ,
fm 3.4KHz, fs 2 fm ,
若取
fs
8000 Hz,
则Ts
1 125s
8000
退出
第
例
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求信号f (t) Sa(100t)的频宽（只计正频率部分），若对 f (t)进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率f N 和奈奎斯特 周期TN。
退出
三．码速与带宽，时分复用的码间串扰
a 时 钟 CP
T
码速：f 1 T
b矩形 0
归零码
1
0
1
1
0
1
0
带宽：1
c 矩形
不归零码 T
d 升余弦码
T 2T
P118
带宽：1 T
t0 t1
带宽：1 T
•选用带宽外高频 分量相对较小的 码型。
退出
利用Sa函数码型避免码间串扰
时钟 (CP)
Sa函数 码型
F S
S om S
退出
2.奈奎斯特(Nyquist) 抽样率和抽样间隔
重建原信号的必要条件：
s
2
Ts
2
fs
2 m
2 2fm
不满足此条件，就要发生频谱混叠现象
P159图3-54
演示
即
抽样 频率f s
2
f m 是必要条件, 或抽样间隔Ts
1 2 fm
1 Ts 2 fm
是最大抽样间隔 ,称为奈奎斯特间隔
Ts
c
f
n
(nTs )Sa c
t
nTs
连续信号f(t)可以展开成Sa函数的无穷级数，级数
的系数等于抽样值f(nTs)。也可以说在抽样信号fs(t)的每 个抽样值上画一个峰值为f(nTs) 的Sa函数波形，由此合 成的信号就是fs(t) 。
当 s
2
，
m
则有
c
m
, Ts
2 s
c
此时f t f (nTs )Sac t nTs
演示
n
抽样序列的各个冲激响应零点恰好落在抽样时刻 上。就抽样点迭加的数值而言，各个冲激响应互相不 产生“串扰” 。
退出
当s 2m时，只要选择m c s m 即可正确恢
复f t波形。
当s
2
时
m
，不
满
足
抽
样定理，f
s
t
的
频
谱
出
现
混叠
，
在时域图形中，因Ts过大使冲激响应Sa函数的各波形在时
间轴上相隔较远，无论如何选择c都不可能使迭加后的波
形恢复f t。
退出
三.抽样定理的应用—时分复用
● Time-division Multiplexing (TDM) ●主要用于数字信号的传输和接入 ●把传输信道按时间进行分割成不同的时间段 ●每部分时间段称为时隙 (Time Slot) ●占用较少的资源
优点
见P304图5-32
退出
优点
•时分复用传送PCM信号，传输PCM信号所具备的 优点在时分复用都得以体现。 •产生与恢复各路信号的电路结构相同，而且以数字 电路为主，比频分复用系统的电路更容易实现超大 规模集成，电路类型统一，设计、调试简单。 •容易控制各路信号之间的干扰（串话），合理设计 码脉波形可使频带得到充分利用并且防止码间串 扰。
T 1 0 11 0
2T t1 t0
若脉码速率f 1 ，相应的 T
单个Sa波形表达式为
Sa π t ，它的频谱函数 T
为矩形,频带B 1 。 2T
所占带宽减半。
在T的整数倍各时刻其抽样值为零，因而 接收端以此处为抽样判决点，保证不会出 现误判。
退出
(1)要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变
换F(ω)
已知
令
100
G t
,则＝200
Sa
2
2
G200t 200Sa100
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即
1 200
G
200
t
Sa100
利用傅里叶变换的对称性
Sa100t
2
1 200
G200
100
G200
f(t)的波形和频谱图如下
f t
1
F