高中数学指数函数及其性质教案3.doc

指数函数及其性质3

三维目标

一、知识与技能

1.能根据指数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题.

2.注意指数函数的底数的讨论.

二、过程与方法

1.通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生成为一个会与别人共同学习的人.

2.通过探索比较复杂函数与简单初等函数的关系，培养学生的利用化归思想解决问题的能力.

三、情感态度与价值观

1.通过讨论比较复杂的函数的单调性、奇偶性，使学生感知知识之间的有机联系，感受数学的整体性，

感受并体会数学中的化归思想的巨大作用及其在生活中对处理生活琐事的指导作用，激发学生的学习兴趣.

2.在教学过程中，通过学生的相互交流，增强学生数学交流能力，合作学习的能力，同时培养学生倾

听、接受别人意见的优良品质.

教学重点

讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性.

教学难点

将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题.

教具准备

多媒体课件、投影仪、打印好的作业.

教学过程

一、复习旧知

复合函数y=f［ g（ x）］是由函数 u=g（ x）和 y=f（ u）构成的，函数u=g（ x）的值域应是函数y=f（ u）的定义域的子集 .在复合函数y=f［ g（ x）］中， x 是自变量， u 是中间变量 .当 u=g（ x）和 y=f（u）在给定区间上增减性相同时，复合函数y=f［ g（ x）］是增函数；增减性相反时，y=f［ g（ x）］是减函数 .

二、创设情景，引入新课

师：我们已经比较熟练地掌握了指数函数的图象和性质，并运用这些知识解决了一些具体的问题，我

们知道指数函数 y=a x是非奇非偶函数，那么含有指数式的函数，如：y= 10x 1

有奇偶性吗？

10 x 1

这就是我们这一节课所要研究的内容.

三、讲解新课

（一）例题讲解

a x 1

是奇函数 .

【例 1】当 a＞1 时，判断函数 y=

1

a x

师：你觉得应该如何去判断一个函数的奇偶性？

（生口答，师生共同归纳总结）

方法引导：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是：

（ 1 ）求出定义域，判断定义域是否关于原点对称.

（ 2 ）若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数.

（ 3 ）若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论f（－ x）和 f（ x）之间的关系 .

若 f （－ x） =f（ x），则函数 f（ x）是定义域上的偶函数；若f（－ x） =－ f（ x），则函数f（ x）是定义域上的奇函数；若f（－ x） =f（x）且 f（－ x）=－ f（ x），则函数 f（x）在定义域上既是奇函数又是偶函数.

师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题 1.

（生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解答，并组织学生评析，师最后投影显示规范

的解答过程，规范学生的解题）

证明：由 a x －1≠ 0，得 x ≠ 0，

故函数定义域为 { x|x ≠ 0} ，易判断其定义域关于原点对称 .

又 f （－ x ）= a

a

x x

1

( a

=

1

( a

x 1) a x 1 a x

x

1)a x = 1 a x =－ f （x ），

∴ f （－ x ） =－ f （ x ） . ∴函数 y= a

x 1

是奇函数 .

a x 1

合作探究： 此题是函数奇偶性的证明，在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性 质 .请思考， 证明 f （ － x ）=－ f （ x ）的目标指向能否更加简单？如改证

f （ － x ）± f （ x ）=0 或者 f ( x)

=

f (x)

± 1，以上两种处理方式何时用何种形式能够使得解题过程更加简洁

?

【例 2】 求函数 y=（ 1

） x 2 2x 的单调区间，并证明之 .

2

师：证明函数单调区间的方法是什么 ?

（生口答，师生共同归纳总结）

方法引导：（ 1）在区间 D 上任取 x 1＜ x 2.（ 2）作差判断 f （ x 1）与 f （ x 2）的大小：化成因式的乘积，从

x ＜ x 出发去判断 .（ 3）下结论：如果

f （ x ）＜ f （x ），则函数 f （ x ）在区间 D 上是增函数；如果 f （ x ）

1

2

1

2

1

＞ f （x 2），则函数 f （ x ）在区间 D 上是减函数 .

解：在 R 上任取 x 1、 x 2，且 x 1＜ x 2，

( 1 ) x 2

2 x

2

2

=（ 1

）

x 12 x 1

2

2 x 2

2 x

1

=（ 1

）

( x 2 x 1

)( x 2 x 1

2)

.

则 y

2

= 2

x

2 2 x

1

y

1 ) 2

2

1

1

(

2

∵ x 1＜ x 2，∴ x 2－ x 1＞ 0.

当 x 1、 x 2∈（－∞， 1］时， x 1+x 2－ 2＜ 0.这时（ x 2－ x 1）（ x 2+x 1－ 2）＜ 0，即

y 2

＞ 1.

y 1

∴ y 2＞ y 1，函数在（－∞， 1］上单调递增 .

当 x 1、 x 2∈［ 1， +∞）时， x 1+x 2－ 2＞ 0，这时（ x 2－ x 1）（ x 2+x 1－ 2）＞ 0，即

y 2

＜

1. y 1

∴ y 2＜ y 1，函数在［ 1，+∞上单调递减 . 综上，函数 y 在（－∞， 1］上单调递增，在［

1， +∞）上单调递减 .

合作探究：在填空、 选择题中用上述方法就比较麻烦， 因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.

如下例 .

【例 3】 求函数 y=3

x 2 2 x 3

的单调区间和值域 .

师：请同学们分析观察所给函数有什么特点？这些特点会给你解答该题提供哪些信息？ （生讨论交流，师捕捉学生交流具有价值的信息，及时归纳，得出如下结论）

结论：所给函数解析式右边是指数式，指数式的指数又是一个关于自变量 x 的二次三项式 . 师：以上结论能否为你解决该问题提供一点思路呢？

（生交流，师总结）

由以上结论想到：若设 u=－ x 2+2x+3，则 y=3u ，这样原来一个比较复杂的函数单调性的讨论问题就转

化为两个基本初等函数的单调性的讨论问题 .