溶质运移理论-(三)水动力弥散方程的解析解法-文档资料

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无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
求解思路：
初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬 时变强度点源，利用点源基本解积分求取
取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x’表示，有
C表示示踪剂浓度，n为有效 孔隙率；ω 为砂柱横截面积
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无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
考虑与u等速的动坐标系，在位于x’处强度为 ' dm C n dx f 的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓 度为：
对于式（4-11），令
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一、基本解
（4-15）
代入（4-15）
讨论并计算得 代入得最终结果
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一、基本解
（4-20）
空间瞬时点源的解
分析上式得 等浓度面为圆心位于原点处的球面； 浓度空间分布情况如图所示；
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一、基本解
任何时刻处浓度最大值在原点 随时间增加，原点处浓度减少 由于
或
对于式
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二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令 则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
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二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
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二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比
浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当x 时， C 0；
积分得
浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题
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一、基本解-有限空间（平面）问题
' y 对于边界简单的情况，可用反映法转化为无限空 间问题在叠加求解
，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0) 对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂
C 0 n
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二、一维水动力弥散问题
设有一无限长均质砂柱，原有溶液浓C0=0，在t=0， x=0处瞬时注入质量为m的示踪剂，取砂柱中心轴为x 轴，流速方向为正，求浓度C(x,t) 分布
根据线性叠加的思想，将线源作用视为点源的连续分布
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一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
令 解得
空间瞬时无限线源的基本解
C和z无关，Z方向不产生弥散
平面瞬时点源基本解
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一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
厚度为M的承压完整井中瞬时注入示踪剂： 线源长度为M，若瞬时注入示踪剂质量为 m M ,则
mM ml M
对应解为
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一、基本解-空间瞬时无限面源与平面瞬时无限线源与一维瞬时点源
空间直角坐标系中,取yoz坐标面与面源重合，并设 单位面源瞬时注入质量为mf 的示踪剂 无限面源可以视为无数连 续排列的无限线源组成
mM
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一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
' y 从无限面源中分割出一根平行于z轴，在 处，宽 ' dy 度为 的窄长型微分面源，对空间上任意（x,y,z）处 的作用，与空间瞬时无限线源想当，后者单位长度注 ' m dy 入量与前者的 相当，有 f
随着Dl或者t的增大，浓度 越来越分散；
曲线在 x 处为拐点， 0 . 607 C 拐点浓度 C m
一维弥散Cmax衰减比二、三 维要慢
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无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
一无限长均质砂柱，速度u做稳定流动，且初试浓 度呈阶梯状分布，数学模型为：
式（4-3）通解为
利用边界条件确定系数A、B。将（4-45）代入(4-46’)
常微分方程两相异实根r1>0,r2<0，上式右端第二项为 r 1 e 0，且 ，必有A=0
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半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
将边界条件（4-44）代入(4-46’)，考虑A=0，有 故 作关于t的Laplace逆变换
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瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
均质各项同性、等厚的承压含水层中存在一维稳定流 动，孔隙平均流速为u，取x坐标轴平行地下水流向， 产生，在x方向为纵向弥散系数DL，在y方向为横向弥 散系数DT。
，浓度为原点的1%
随时间推移，弥散 晕范围逐步扩大
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一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
一口承压完整井中瞬 时注入示踪剂，求浓 度时空分布规律
映射
三维空间一条无 限长瞬时线源
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一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
取三维空间上z轴与瞬时线源重合，假定单位长度线 源瞬时注入示踪剂的质量为ml，在线源上任意位置 z ' 处 取一分为线源段 d z '，将其视为点源的作用，其瞬时注入 ' m d z 示踪剂质量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ l ，在瞬时点源空间上任意点（x,y,z） 产生的微分浓度
地下水溶质运移理论及模型
第四章 水动力弥散方程的解析解法
中国地质大学环境学院 2019春
一、基本解
基本解 将瞬时注入点源问题的解称为基本解。由基本 解出发，利用叠加原理到处线源、面源、多点源及 连续注入问题的解。 三维空间瞬时点源
（1）均质各向同性； （2）静止流场 0，弥散系数为常数，即
，流体密度为常数； （3）t=0时，在原点处瞬时注入质量为m的溶质； （4）瞬时点源位置为坐标原点；
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一、基本解
浓度C对称于原点分布
对流弥散方程简化成 D表示多孔介质分子扩散系数 取半径为R和R+dR的两个球面所构成的单元体为均 衡段，根据质量均衡得
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一、基本解
略去高阶变量
问题写成
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一、基本解
略去高阶变量
问题写成
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一、基本解
将m、n合并成新变量m/n，得
根据因次分析中的π定理设
和 对该问题，有两个独立的π参数，依π定理有
π1、π2可有多种组合， 但上述组合可得到最简 单的常微分方程，即
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一、基本解
（4-11）
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一、基本解
将定解条件做适当变换
通过Boltzmann变换，将偏微分变成常微分
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半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
进一步求解 得
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半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
该式可用于地表水体。如一条均匀的长渠道， 在x=0处定浓度C0,并以稳定速度u流动，只需讲Dl 改成Dm 余补误差函数erfc（η）随着η的增大而减少，当x 足够大或t足够长，右端第二项可忽略不计，即
讨论一阶的情况，进行积分分解并换元求解得
相对浓度
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无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
由于erfc（0）=1，故x=ut处，相对浓度ε =1/2，表示 ε =1/2的点与u同速度推进。
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半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
坐标轴与数学模型如下：
作关于t的Laplace变换
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半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界