二面角及其度量(上课用)
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2 a， A1O＝C1O＝
(
3 2
2
a＝
6 2
a
∴cos∠A1OC ＝
6 6 a) 2 ( a ) 2 ( 2a ) 2 2 2 6 6 2 a a 2 2
＝1
3
∴∠A1OC＝arccos 1
3
。
故二面角 A1－BD－C1 的大小为 arccos 1
3
。
解：设 AC, BD =x，由已知 CA⊥AB，AB⊥BD 得 AC AB BD AB 0, CA, BD 180 x ， 2 2 因此 | CD | (CA AB BD) = 2 2 2 | CA | | AB | | BD | 2 | CA | | BD | cos(180 x)
二面角C－AB－ D
三、二面角的画法
请同学们把自己的课本打开一定的角度，并改变 放法 归纳出两种画法：平卧式 和 直立式
四、二面角的度量
请同学们将书本打开、合上， 注意观察这一过程中两个面的相对位置
发现：各二面角的“开合程度”，即大小不一 样
想一想：该怎样度量二面角的大小呢？还用量 角器吗？
从二面角的棱上任一点在两个半平面内 分别作垂直于棱的射线，则这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角。
从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为什么？
一、二面角定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，每 个半平面叫做二面角的面。
半 平 面
l
半 平 面
l
二、二面角的表示方法：
∠AOB 二面角－AB－
A O
B
A
C
B
D
l
5
B
A 二面角－ l－
？
O 。 O1 。 A A1
B B1
β
α
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
A
l
O B
1）点在棱上 2）线在面内 3）与棱垂直
五、二面角的范围：
规定：二面角的范围是 0 ,180
平面角是直角的二面角叫做直二面角
射影面积法
A B M D C A/
是不找平面角 求二面角的 一种方法!
回忆：
1.异面直线所成角： cos | cos a, b |
a
C
A
a b
A
D
D1
B
2.直线与平面所成角： sin | cos n, AB |
n
B
O
n
六、向量法求二面角：
cos n1 , n2
1 cos 3
1 3
arccos
1 3
解： （方法二）
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求二面 角 A1－BD－C1 的大小。
由正方体的面对角线长都相等可知，△ A1BD 与△ C1BD 是全等的正三角形， 取 BD 的中点 O， 连结 A1O、 C1O， 则 A1O⊥BD， C1O ⊥BD， ∴∠A1OC 就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。 ∵A1C1＝
互相垂直的平面就是相交成直二面角的两个平面
10
作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
p
α
β
A B B
pβ
β
B
p
α
A
ι
ι
O
α
A
—几何法
二面角
练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点， 则二面角P-BC-A的平面角为:
直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.
射线 射线
思考：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部 分叫什么名称？
α
l
平面内的一条直线，把这个平面分成两部分， 每一部分都叫做半平面。
在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角．
∠A1O1B1 ∠A O B 小结： 1.二面角就是用它的平面角来
度量的。一个二面角的平面角多大，我 们就说这个二面角是多少度的二面角。 2.二面角的平面角与点（或垂直平面） 的位置无任何关系，只与二面角的张 角大小有关。 等角定理 若一个角的两边与 另一个角的两边分别平行且方 向相同，则这两个角相等。
代入已知线段的长度， 得 (2 17) 6 4 8 2 6 8 ( cos x) ，
2 2 2 2
例3：已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数
∠ACP
A
C
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等 于P到棱的距离的一半，则这个二 面角的度数是多少？ 60º
β
B
p
α
O
ι
A
例1、已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上 的射影为点A/， ⊿ABC的面积是S， ⊿A/BC的面积是S/，设二面角A-BC-A/为 求证： S / = S COS
n2
n1， n2
n1， n2
l
n2
n1， n2
n1
n1
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos
cos n1, n2 cos
cos n1, n2
1.方向向量法（依据定义）
B A C l D
AB CD cos cos AB, CD AB CD
注意：向量AB,CD的方向： 起点都在棱上，也可共起点
二面角的范围： [0, ]
2.法向量法
n1， n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求二面 角 A1－BD－C1 的大小。
解： （方法一） 如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1
平面A1 BD的法向量n1 (1,1,1) 平面C1BD的法向量n2 (1,1,1)
(
3 2
2
a＝
6 2
a
∴cos∠A1OC ＝
6 6 a) 2 ( a ) 2 ( 2a ) 2 2 2 6 6 2 a a 2 2
＝1
3
∴∠A1OC＝arccos 1
3
。
故二面角 A1－BD－C1 的大小为 arccos 1
3
。
解：设 AC, BD =x，由已知 CA⊥AB，AB⊥BD 得 AC AB BD AB 0, CA, BD 180 x ， 2 2 因此 | CD | (CA AB BD) = 2 2 2 | CA | | AB | | BD | 2 | CA | | BD | cos(180 x)
二面角C－AB－ D
三、二面角的画法
请同学们把自己的课本打开一定的角度，并改变 放法 归纳出两种画法：平卧式 和 直立式
四、二面角的度量
请同学们将书本打开、合上， 注意观察这一过程中两个面的相对位置
发现：各二面角的“开合程度”，即大小不一 样
想一想：该怎样度量二面角的大小呢？还用量 角器吗？
从二面角的棱上任一点在两个半平面内 分别作垂直于棱的射线，则这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角。
从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为什么？
一、二面角定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，每 个半平面叫做二面角的面。
半 平 面
l
半 平 面
l
二、二面角的表示方法：
∠AOB 二面角－AB－
A O
B
A
C
B
D
l
5
B
A 二面角－ l－
？
O 。 O1 。 A A1
B B1
β
α
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
A
l
O B
1）点在棱上 2）线在面内 3）与棱垂直
五、二面角的范围：
规定：二面角的范围是 0 ,180
平面角是直角的二面角叫做直二面角
射影面积法
A B M D C A/
是不找平面角 求二面角的 一种方法!
回忆：
1.异面直线所成角： cos | cos a, b |
a
C
A
a b
A
D
D1
B
2.直线与平面所成角： sin | cos n, AB |
n
B
O
n
六、向量法求二面角：
cos n1 , n2
1 cos 3
1 3
arccos
1 3
解： （方法二）
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求二面 角 A1－BD－C1 的大小。
由正方体的面对角线长都相等可知，△ A1BD 与△ C1BD 是全等的正三角形， 取 BD 的中点 O， 连结 A1O、 C1O， 则 A1O⊥BD， C1O ⊥BD， ∴∠A1OC 就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。 ∵A1C1＝
互相垂直的平面就是相交成直二面角的两个平面
10
作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
p
α
β
A B B
pβ
β
B
p
α
A
ι
ι
O
α
A
—几何法
二面角
练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点， 则二面角P-BC-A的平面角为:
直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.
射线 射线
思考：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部 分叫什么名称？
α
l
平面内的一条直线，把这个平面分成两部分， 每一部分都叫做半平面。
在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角．
∠A1O1B1 ∠A O B 小结： 1.二面角就是用它的平面角来
度量的。一个二面角的平面角多大，我 们就说这个二面角是多少度的二面角。 2.二面角的平面角与点（或垂直平面） 的位置无任何关系，只与二面角的张 角大小有关。 等角定理 若一个角的两边与 另一个角的两边分别平行且方 向相同，则这两个角相等。
代入已知线段的长度， 得 (2 17) 6 4 8 2 6 8 ( cos x) ，
2 2 2 2
例3：已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数
∠ACP
A
C
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等 于P到棱的距离的一半，则这个二 面角的度数是多少？ 60º
β
B
p
α
O
ι
A
例1、已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上 的射影为点A/， ⊿ABC的面积是S， ⊿A/BC的面积是S/，设二面角A-BC-A/为 求证： S / = S COS
n2
n1， n2
n1， n2
l
n2
n1， n2
n1
n1
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos
cos n1, n2 cos
cos n1, n2
1.方向向量法（依据定义）
B A C l D
AB CD cos cos AB, CD AB CD
注意：向量AB,CD的方向： 起点都在棱上，也可共起点
二面角的范围： [0, ]
2.法向量法
n1， n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求二面 角 A1－BD－C1 的大小。
解： （方法一） 如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1
平面A1 BD的法向量n1 (1,1,1) 平面C1BD的法向量n2 (1,1,1)