东南大学2012高等数学竞赛练习1及解答

竞赛练习1

（Hechuanfu ）

1.

设

dt

xt f x x

x f x f x )()(,2)

(lim )(100⎰==→ϕ连续，且，讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性。

=1

()()()0

()=lim ()=(0)

=0

x

xt u

x f u du x f xt dt

x

x x x x φφφφ→==

≠⎧'''⎨⎩⎰

⎰

提示：，

？，求出，再讨论？，

2. 求函数2()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数()(0)(3).n f n ≥ 提示：莱布尼茨公式

3. 设x

x

x f +-=11arctan )(，求()()0n f 提示：

22

1

()()111(0),(0)

f x f x x x

f f -''=

⇒+=-+（2n ）（2n-1）（）两边再利用莱布尼茨公式求（n-1）阶导数再递推求出 4. 设)(x f 在[] 0, 1 上二阶可导，(0)(1) , (1)1,f f f '==

求证：( 0, 1 )ξ∃∈ 使 ()2f ξ''=.

证法1： 令2()(),F x f x x x =-+ 则 []()0,1(0,1),F x C D ∈ (0)(1)F F =

由洛尔定理知 (0,1), ()0F ηη'∃∈=

()()21F x f x x ''=-+, []()0,1(0,1)F x C D '∈ , (1)(1)10()F f F η'''=-==

由洛尔定理知 (0,1), ()0, ()()2, ()2F F x f x f ξξξ''''''''∃∈==-= 证法2： 令2()(),F x f x x =- []()0,1(0,1),F x C D ∈ 由拉格朗日定理知

(0,1), ()()(10)(1)(0)1,F F F F ηηη''∃∈=-=-=-

[]()0,1(0,1),F x C D '∈ (1)(1)21(),F f F η'''=-=-= 由洛尔定理知 (0,1), ()0, ()()2, ()2F F x f x f ξξξ''''''''∃∈==-= 证法3： 在1x =展开为一阶泰勒公式

2111

()(1)(1)(1)()(1), (,1)2

f x f f x f x x ξξ'''=+-+-∈ 1

(0)(1)(1)(), (0,1)2

f f f f ξξ'''=-+

∈ 因(0)(1) , (1)1,f f f '== 故 (0,1), () 2 f ξξ''∃∈=

证法4： 令 21

()()()2

F x f x x =--, 用两次洛尔定理。

证法5： 令 2()()()F x xf x x f x '=--, 用一次洛尔定理。

5. 设f 在],[b a 上可微，且a 与b 同号，证明：存在),(b a ∈ξ，使 （1）)(')()]()([222ξξf a b a f b f -=-；

（洛尔定理:222()[()()]()()F x x f b f a b a f x =---） （2）)('ln )()(ξξf a b a f b f ⎪⎭

⎫

⎝⎛=-.

洛尔定理: ()(()())ln ln ()b F x f b f a x f x a ⎛⎫

=-- ⎪⎝⎭

6. 设()f x 在(,)-∞+∞有界且导数连续，又对于任意实数x 有

()()1

f x f x '+≤，试证明：

()1

f x ≤。

证 令()()x F x e f x =，则()[()()]x

F x e f x f x ''=+，于是()x F x e '≤，即

()x x

e F x e '-≤≤。故()x

x x

x

x e dx F x dx e dx -∞

-∞

-∞

'-≤

≤

⎰⎰

⎰

，即

()lim ()()x x x x x x e e f x e f x e f x e →-∞

-≤-=≤。

故1()1f x -≤≤，即()1f x ≤。

7. 设122()sin sin2sin (,1,2,,)n i f x a x a x a nx

a R i n =+++∈= ，且

|s i n ||)(|x x f ≤，证明：1|2|21≤+++n na a a .

提示：

00|()||sin |()(0)sin lim lim ((0)0)||||0x x f x x f x f x

f x x x x

→→-≤⇒≤=-

8. 设f 在],[b a 上二阶可微，0)()(==b f a f ，0)(')('>-+b f a f ，则方程0)("=x f 在)

,(b a

内至少有一个根 .

'()'()0()()=0()()=()0.f a f b a b f f a f f b ηηη+->∃∈==提示：利用去证，使，有再利用洛尔定理

9. 设)(x f 在[0，1]上具有二阶导数，且0)(<''x f ，求证：

1

20

1

()()3

f x dx f ≤⎰

.

提示：1()=3

f x x 利用泰勒公式在处展开，不等式再积分 10. 设[)+∞=,)(a x f 上可导，且)(lim x f x '+∞

→存在，证明0)

(lim

2=+∞

→x x f x

解： 由)(lim x f x '+∞

→存在，得

使得,0>∃A [)+∞',)(A x f 在上有界，即使得,0>∃M 当A x ≥时， M x f ≤')(

对A x >，由拉格朗日中值定理得 ()A x f A f x f -'=-)()()(ξ ()+∞→→+≤-'+≤≤

x x M

x

A f x A x x f x A f x x f 0)()()()(02

22ξ 由夹逼准则得 0)

(l i m

2

=+∞

→x x f x

11. 设)(x ϕ在[]1,0上连续，在()1,0内可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ，证明存在()1,0,∈ηξ，

使得

()()a b

a b f f ξη+=+''。

证 设01a b <≤<，令0

a

c a b

=

+，则001c <<。因 (0)0,(1)1f f ==且()f x 在[0,1]上连续，由介值性定理存在(0,1)c ∈，使得

0()f c c =。现在在[0,]c 上利用拉格朗日中值定理，存在(0,)c ξ∈，有

0()(0)()00()c f c f a f c c a b c

ξ-'=

==--+。

同理在[c,1]上利用拉格朗日中值定理存在(,1)c η∈，有