n阶行列式及其计算
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或 j1
按第一行展开
3
D ai3 Ai3 a13 A13 a23 A23 a33 A33 6 按第三列展开
2020/i111/18
7
走试试别的行与列 找有零的有行或列
0 D 2
1 1 现按第一行展开
3
2
2
A12
4
2 4
0
A13
2 4
4 3 4
3 6
3来自百度文库
3
1.D a1 j A1 j a11 A11 a12 A12 a13 A13 0 0 6 6 j 1
a21
x1
a22 x2
...................
a2n
xn
b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
第j列
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n
a11 b1 a1n a21 b2 a2n
Dj
an1
特别地n=1时：一阶行列式的值等于其元素本身即
D1 a a
那么n阶行列式
a11
Dn
a21
an1
2020/11/18
如
a12 a1n 何
a11
a22
a2n
表 示
ai1
出
a an2 ann ij an1
如何计算呢？
a1 j
aij
anj
a1n ain ann
4
余子式、代数余子式
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
2020/11/18
13
推论1：某行（列）为零值为零
推论2：两行（列）成比例值为零 证明：由推论及性质3可证
2020/11/18
14
4.乘加法则：某行（列）乘以数k
或 j1
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
注意两者有什么不同？
1 1 3 2
n
aij Aij i 1
j 1,2,, n
找相应 Aij
3 4 试试：按第一行和第三列计算上述行列式的值
3
D a1 j A1 j a11A11 a12 A12 a13 A13 6
5
如:三阶行列式
a11 0 的余子式:
0 D 2
1 3
1 2
3 2
M 11 3
6 4
4 3 4
代数余子式:
A11 (1)11 M11 M11 6
2 2
M12 4
0 4
A12 (1)12 M12 0
01
M 23 4
4 3
A23 (1)23 M23 4
试试去 求-1和4的代数余子式
现按第一列展开
1 1
A21
3
1 4
1 1
A31 3
1 2
3
2.D 0 2 4 6 ai1 Ai1 a11 A11 a21 A21 a31 A31 i 1
2020/11/18
8
例11-1-2.1计算上三角行列式
a11 a12 a1n
0 D
a22 a2n
0 0 ann
解：按列展开降阶
D a11 A11 a11a22 A22 a11a22 an1n1 An1n1
a11 a22 an1n1 ann a11 a22 an1n1ann
2020/11/18
9
结论：上、下三角、对角行列式的值都等于
主对角线元素之积！这提供了一种简便
常用的行列式计算方法。
an2 ann
j 1,2, n
an1
bn
ann
(1) D ? 怎样算？ (2) 当D 0 时，方程组⑵是否有唯 一解？
(3) 当D 0 时，若方程组⑵有唯一 解，解是否
可以表示成
xi
Di D
,
i 1,2, , n
克莱姆 法则！
由n2个数aij构成的n行n列的一个数表，称为n阶行列式， 它表示一种运算法则，结果是一个数值，其中的数aij称 为元素，二、三阶行列可用对角线法则来计算
§11.1-2 行列式
一. n阶行列式
二、行列式的展开（降阶）符号规则
行用r
三、行列式性质
列用c
四、利用性质计算行列式
降阶 Aij （1）i jMij n aik Aik
2020/11/18
k 1 1
一、 n阶行列式
引例 n元线性方程组（方程个数＝未知量个数）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
(1).定义: 在n阶行列式D中, (k阶)子式N:任选k行k列相交处元素
构成的行列式. (aij的)余子式M:划去aij所在行、列后,
剩余元素构成的行列式. (aij的)代数余子式A:M带上N的符号.
Aij （1）i j Mij 思考题 Mij ?
aij所在的行标
aij所在的列标
2020/11/18
A13 M13 6 A33 M33 2
2020/11/18
6
拉普拉斯展开式
2.定理:n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数 余子式的乘积之和。 思考如何将其翻译成数学符号呢？
0 D 2
4
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
n
aij Aij i 1,2,, n
a11 a21 an1
D a21
a22
a2n
DT a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
2020/11/18
11
2.两行（列）互换值变号
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
a11 a12 a1n a11 0 0
0 D
a22 a2n a21 a22
0
0 0 ann an1 an2 ann
a11 0 0
0
a22
0 a11 a22 ann
0
2020/11/18
0 ann
10
二、行列式性质
1.行列式转置相等
a11 a12 a1n
后加到另一行（列）值不变。
符号规则 行用r
a11
列用c ai1
D
a j1
a12
ai2
k
aj2
a1n
D D
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
2020/11/18
12
推论：两行（列）相同值为零
证明：互换相同的两行 有D D，故D 0。
3.某行（列）的公因子可外提
a11 a12 a1n
按第一行展开
3
D ai3 Ai3 a13 A13 a23 A23 a33 A33 6 按第三列展开
2020/i111/18
7
走试试别的行与列 找有零的有行或列
0 D 2
1 1 现按第一行展开
3
2
2
A12
4
2 4
0
A13
2 4
4 3 4
3 6
3来自百度文库
3
1.D a1 j A1 j a11 A11 a12 A12 a13 A13 0 0 6 6 j 1
a21
x1
a22 x2
...................
a2n
xn
b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
第j列
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n
a11 b1 a1n a21 b2 a2n
Dj
an1
特别地n=1时：一阶行列式的值等于其元素本身即
D1 a a
那么n阶行列式
a11
Dn
a21
an1
2020/11/18
如
a12 a1n 何
a11
a22
a2n
表 示
ai1
出
a an2 ann ij an1
如何计算呢？
a1 j
aij
anj
a1n ain ann
4
余子式、代数余子式
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
2020/11/18
13
推论1：某行（列）为零值为零
推论2：两行（列）成比例值为零 证明：由推论及性质3可证
2020/11/18
14
4.乘加法则：某行（列）乘以数k
或 j1
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
注意两者有什么不同？
1 1 3 2
n
aij Aij i 1
j 1,2,, n
找相应 Aij
3 4 试试：按第一行和第三列计算上述行列式的值
3
D a1 j A1 j a11A11 a12 A12 a13 A13 6
5
如:三阶行列式
a11 0 的余子式:
0 D 2
1 3
1 2
3 2
M 11 3
6 4
4 3 4
代数余子式:
A11 (1)11 M11 M11 6
2 2
M12 4
0 4
A12 (1)12 M12 0
01
M 23 4
4 3
A23 (1)23 M23 4
试试去 求-1和4的代数余子式
现按第一列展开
1 1
A21
3
1 4
1 1
A31 3
1 2
3
2.D 0 2 4 6 ai1 Ai1 a11 A11 a21 A21 a31 A31 i 1
2020/11/18
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例11-1-2.1计算上三角行列式
a11 a12 a1n
0 D
a22 a2n
0 0 ann
解：按列展开降阶
D a11 A11 a11a22 A22 a11a22 an1n1 An1n1
a11 a22 an1n1 ann a11 a22 an1n1ann
2020/11/18
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结论：上、下三角、对角行列式的值都等于
主对角线元素之积！这提供了一种简便
常用的行列式计算方法。
an2 ann
j 1,2, n
an1
bn
ann
(1) D ? 怎样算？ (2) 当D 0 时，方程组⑵是否有唯 一解？
(3) 当D 0 时，若方程组⑵有唯一 解，解是否
可以表示成
xi
Di D
,
i 1,2, , n
克莱姆 法则！
由n2个数aij构成的n行n列的一个数表，称为n阶行列式， 它表示一种运算法则，结果是一个数值，其中的数aij称 为元素，二、三阶行列可用对角线法则来计算
§11.1-2 行列式
一. n阶行列式
二、行列式的展开（降阶）符号规则
行用r
三、行列式性质
列用c
四、利用性质计算行列式
降阶 Aij （1）i jMij n aik Aik
2020/11/18
k 1 1
一、 n阶行列式
引例 n元线性方程组（方程个数＝未知量个数）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
(1).定义: 在n阶行列式D中, (k阶)子式N:任选k行k列相交处元素
构成的行列式. (aij的)余子式M:划去aij所在行、列后,
剩余元素构成的行列式. (aij的)代数余子式A:M带上N的符号.
Aij （1）i j Mij 思考题 Mij ?
aij所在的行标
aij所在的列标
2020/11/18
A13 M13 6 A33 M33 2
2020/11/18
6
拉普拉斯展开式
2.定理:n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数 余子式的乘积之和。 思考如何将其翻译成数学符号呢？
0 D 2
4
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
n
aij Aij i 1,2,, n
a11 a21 an1
D a21
a22
a2n
DT a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
2020/11/18
11
2.两行（列）互换值变号
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
a11 a12 a1n a11 0 0
0 D
a22 a2n a21 a22
0
0 0 ann an1 an2 ann
a11 0 0
0
a22
0 a11 a22 ann
0
2020/11/18
0 ann
10
二、行列式性质
1.行列式转置相等
a11 a12 a1n
后加到另一行（列）值不变。
符号规则 行用r
a11
列用c ai1
D
a j1
a12
ai2
k
aj2
a1n
D D
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
2020/11/18
12
推论：两行（列）相同值为零
证明：互换相同的两行 有D D，故D 0。
3.某行（列）的公因子可外提
a11 a12 a1n