4.4正态随机变量线性函数的分布

定理2表明： 独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.
由定理1及定理2 还可得下面更一般的结论.
[定理3] 设随机变量 X1,X2, ,Xn相互独立，且都
服从正态分布：Xi ~N(i,i2),i1,2, n,则它们 n
的线性组合 c i X i 也服从正态分布，且有
i1
n
n
n
c i X i ~N( cii , ci2i2),
第四章
正态分布
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理1] 设随机变量 X服从正态分布 N(,2),则 X
的线性函数 YabX (b0) 也服从正态分布：
Y a b~ X N (a b,b 22 ).
证：由分布函数定义， Y的分布函数为
FY(y) P(Yy)P (a b X y).
i1
i1
i1
思考题
1.设随机变量 X与 Y独立，且 X服从均值为1 , 标准差 为 2 的正态分布，而 Y服从标准正态分布，试求随机 变量 Z 2 X Y 3 的概率密度. 解：已知 X与Y独立，且X ~ N ( 1 ,2 ),Y ~ N ( 0 ,1 ),
E ( Z ) E ( 2 X Y 3 ) 2 E (X ) E ( Y ) 3 5
D ( Z ) D ( 2 X Y 3 ) 4 D (X )D (Y ) 9
所以 Z 2 X Y 3 ~ N ( 5 ,9 ). 由此可知，Z的概率密度为
fZ(z)312πe(z158)2, z .
2.设随机变量 X服从正态分布 N(,2) ,且二次方程
[推论] 设随机变量 X服从正态分布, 则标准化的
随机变量
X*X~N(0,1).
在定理1中，设 a , b 1 即得结论.


[定理2] 设随机变量X与Y独立，并且都服从正态分布：
X~N (x,x 2), Y~N(y,y2),
则它们的和也服从正态分布，且有
Z X Y ~ N (xy,x 2 y 2 ).
若 b0则有
FY (y) 求导得
P(Xya) b
FX
(
ya), b
fY(y) [FX(yba)]b1fX(yba)
1
e , [y2(ba2b2)]2
2πb
所以Y~N (ab,b2 2).当 b0时类似地可证.
定理1表明： 正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.
y24yX0无实根的概率为0.5 , 则___.__
解： 方程 y24yX0无实根就是 1 6 4 X 0 ,
即X4,按题意,有 P (X 4 ) 0 .5,即 P (X4 )0 .5 .
已知 X~N(,2),所以
P (X 4 ) P (X 4 ) (4 ),
i1
i1
i1
其中 c1,c2,,cn 为常数.
例 设 X ,Y 是两个相互独立的服从同一正态分布
N(0,(
1 )2)的随机变量，求随机变量 2
X Y
的数学
期望 E(XY).
解: 设ZXY,由正态随机变量的线性性质知
Z X Y ~ N ( 0 ,1 ),
于是 Z的概率密度为
fZ(z)
2. 随机变量 X与 Y相互独立，且 X~N(x,x2),
Y~N(y,y2源自文库,则 X Y ~ N (xy,x 2y 2 ).
推广： 设 X1,X2, Xn相互独立，且 Xi ~N(i,i2),
n
n
n
i1,2, ,n,则
ciXi ~N( cii, ci2 i2).
1
z2
e2,
2π
z.
所以，

E(Z) z
1
z2
e 2dz
2π
1
z2
ze 2 dz
2π
2
z2
ze 2 dz
2π 0
2. π
小结
1. 若X~N(,2)， 则当 b0时，
YabX~N(ab,b22).
特别： X~N(0,1).
从而，
(4)0.5,
因为(0)0.5,所以应有
4
0,
由此得 4.