换元积分法(二) 2

a sect
dx a sec2 tdt
a2 x2
x
t
a
所以
dx
a sec2 t
dt
sec tdt
x2 a2
a sect
ln sec t tan t C1
ln sec t tan t C1 x2 a2 x
ln a a C1
a2 x2
x
t
a
ln
x2 a2 x ln a C 1
2
这里介绍另一种代换：倒代换
解 令 x 1 (t 0), 则 dx 1 dt ,
t
t2
dx
x2 a2 x2
t2
a2
1 t2
-1 t2
dt
at2 t 2
dt 1
1 d(a2t 2 1)
2a2
a2t2 1
1 a2
a2t2 1 C
1 a2
a2 x2 C
x
三 小结与思考
什么是根式换元法？ 什么是三角换元法？ 什么是倒代换法？
2
则 x2 a2 a 2 sec2 t a 2 a tan t
dx a sec t tan tdt ,
所以
dx
x2
a2
a sec t tan t atan t
dt
sec tdt ln sec t tan t C1
ln x a
x2 a2
a
C1
ln x
x2 a2 C , C C ln a 1
微积分II
Calculus II
第六章 不定积分
§6.1 不定积分的概念和性质
§6.2 积分基本公式 §6.3 换元积分法 §6.4 分部积分法
6.3 换元积分法（二）
例
求 dx
a 0
x2 a2
解 则
设 x a tan t, t ,
2
2
x2 a 2 a 2 tan2 t a2
ln x2 a2 x C
dx x2 a2
例
求 dx a 0
x2 a2
解
当 x a 时， 设 x a sec t , 0 t ,
2
则 x2 a2 a 2 sec2 t a 2 a tan t
dx a sec t tan tdt ,
x
所以
dx
a sec t tan t
x2 a2
dt a tant
t
a
sec tdt ln sec t tan t C1
x2 a2
ln sec t tan t C1
ln x a
x2 a2
a
C1
ln x x2 a2 C
dx
a 0
x2 a2
xBaidu Nhomakorabea
t
x2 a2
a
当 x a 时，设 x a sec t , t ,
例 解
用公式
1
求
dx 16x2 8x 5
1
dx (4x 1)2 4
1 ln (4x 1)2 4 4x 1 C 4
1 dx ln x2 a2 x C
x2 a2
例
求 dx
(a 0)
x2 a2 x2
说明：本题可用三角代换，设
x a tan t, t ,
2